专题34 操作探究问题-2年中考1年模拟备战中考数学精品系列（解析版）

这是一份专题34 操作探究问题-2年中考1年模拟备战中考数学精品系列（解析版），共89页。
备战中考系列：数学2年中考1年模拟
第七篇 专题复习篇

☞解读考点
知　识　点
名师点晴
操作探究问题[来源:Z&xx&k.Com]
1．利用图形的变换作图[来源:学.科.网Z.X.X.K]
平移、旋转、轴对称、位似，关键是要掌握各种变换的特征．[来[来源:Z,xx,k.Com]
2．设计测量方案
应用全等、相似、三角函数等知识解决问题．
3．动手操作
充分了解和掌握折叠、拼接、分割、作图等的基础知识．
☞考点归纳
归纳 1：利用图形的变换作图
基础知识归纳：
平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离．
旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度．
轴对称：作出一个图形的轴对称图形．
位似：把一个图形放大或缩小．
注意问题归纳：
要掌握各种变换的基本特征，应用这些基本特征来作图．
【例1】（2016山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．

【答案】（1）A1（2，2），B1（3，﹣2）；（2）A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）．
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移；3．作图题．

归纳 2：设计测量方案
基础知识归纳：
对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用全等、相似、三角函数等所学的数学知识，设计测量方案，通过测量得出结果．
注意问题归纳：
要注意根据具体的问题选择适当的方法进行测量．
【例2】从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（　　）

A．（6+6）米 B． （6+3）米 C． （6+2）米 D． 12米
【答案】A．
【解析】在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．
【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
归纳 3：动手操作
基础知识归纳：
可分为折叠型动手操作题、拼接型动手操作题、分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
注意问题归纳：要利用折叠的性质、拼接、分割时图形面积的不变性以及利用好平移、旋转、对称和位似等变换作出已知图形的变换图形，从而解决问题．
【例3】（2016江苏省常州市）（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为 ，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为 ；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

【答案】（1）；（2）①；②答案见解析；（3）．
【分析】（1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；
（2）①先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；
②依题意补全图形如图3所示；
（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．
②剪拼示意图如图3所示：

（3）剪拼示意图如图4所示，∵正方形的边长为60cm，由剪拼可知，AC是正方形的对角线，∴AC=cm，由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，∴CE=CF=30cm，∵∠ECF=90°，根据勾股定理得，EF=cm；
∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=+=cm．学科网

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形．
考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．操作型；4．压轴题．
☞2年中考
【2016年题组】
一、选择题
1．（2016云南省曲靖市）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（　　）

A．CD⊥l　　　　　　　　　　B．点A，B关于直线CD对称
C．点C，D关于直线l对称　　　　　　D．CD平分∠ACB
【答案】C．
【分析】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．轴对称的性质；4．作图题．
2．（2016四川省达州市）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（　　）

A．25　　　　　　B．33　　　　　　C．34　　　　　　D．50
【答案】B．
【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．

【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．
考点：1．规律型：图形的变化类；2．操作型．
3．（2016山东省淄博市）小明用计算器计算（a+b）c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：

这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：

从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（　　）
A．24　　　　　　B．39　　　　　　C．48　　　　　　D．96
【答案】C．
【分析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，进而解出a，b，c的值，进而得出答案．
【点评】此题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法，正确得出关于a，b，c的等式是解题关键．
考点：1．计算器—基础知识；2．操作型．
4．（2016河北省）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）

A．BH垂直平分线段AD　　　　　　B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC•AH　　　　　　　　　D．AB=AD
【答案】A．
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解析】A．正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．
B．错误．CA不一定平分∠BDA．
C．错误．应该是S△ABC=BC•AH．
D．错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．

【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．学科网
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．
5．（2016江苏省扬州市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（　　）

A．6　　　　　　B．3　　　　　　C．2.5　　　　　　D．2
【答案】C．
【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小

【点评】本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题．
考点：1．矩形的性质；2．等腰直角三角形；3．操作型；4．最值问题；5．几何问题的最值．
6．（2016浙江省丽水市）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）
A．　　　　　　B．
C．　　　　　　D．
【答案】D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．

【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
考点：作图—复杂作图．
7．（2016湖北省宜昌市）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△EGH为等腰三角形　　　　B．△EGF为等边三角形
C．四边形EGFH为菱形　　　　D．△EHF为等腰三角形
【答案】B．
【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．

【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．
8．（2016福建省莆田市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（　　）

A．直线　　　　　　B．抛物线　　　　　　C．双曲线　　　　　　D．双曲线的一支
【答案】B．
【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各曲线的图形是关键．
考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．线段垂直平分线的性质；3．作图—基本作图．
9．（2016福建省漳州市）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A．　　　　B．
C．　　　　D．
【答案】B．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
【解析】过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
考点：作图—基本作图．
10．（2016黑龙江省绥化市）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A．　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
【点评】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
考点：1．剪纸问题；2．操作型．
11．（2016黑龙江省龙东地区）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（　　）
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4
【答案】C．
【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
考点：1．二元一次方程的应用；2．方案型；3．操作型．
二、填空题
12．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．

【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．
【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．
【解析】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．
考点：作图—基本作图．
13．（2016吉林省）如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB= ．

【答案】5．
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．
【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题，属于中考常考题型．
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．
14．（2016天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（1）AE的长等于________；
（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP = PQ = QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．

【答案】（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）利用格点，根据勾股定理求出AB的长；
（2）如图，AC与网格线相交，得点P；取个点M，连接AM并延长与BC相交，得点Q，连接PQ即可．

【点评】本题考查了勾股定理，充分利用格点的特点和相似三角形的性质是解题的关键．学科网
考点：1．勾股定理；2．作图题．
15．（2016山东省淄博市）由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．

【答案】答案见解析．
【分析】根据俯视图和左视图可知，该几何体共两层，底层有9个正方体，上层中间一行有正方体，若使主视图为轴对称图形可使中间一行、中间一列有一个小正方体即可．
【解析】如图所示：

【点评】本题主要考查三视图还原几何体及轴对称图形，解题的关键是根据俯视图和左视图抽象出几何体的大概轮廓．
考点：1．作图-三视图；2．轴对称图形；3．由三视图判断几何体．
16．（2016山东省青岛市）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．

【答案】．
【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∠POQ=60°，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，得出OD的长，求出OP，无盖柱形盒子的容积=底面积×高，即可得出结果．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质，求出等边△OPQ的边长和高是解决问题的关键．
考点：剪纸问题．
17．（2016广东省深圳市）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ．

【答案】2．
【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定；3．作图—复杂作图；4．操作型．
18．（2016浙江省湖州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．

【答案】5．
【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
【点评】本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．
考点：1．作图—基本作图；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．
三、解答题
19．（2016四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，1），B（0，3），C（0，1）
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）分别连结AB1、BA1后，求四边形AB1A1B的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）12．
【分析】（1）利用网格特点，延长AC到A1使A1C=AC，延长BC到B1使B1C=BC，C点的对应点C1与C点重合，则△A1B1C1满足条件；
（2）四边形AB1A1B的对角线互相垂直平分，则四边形AB1A1B为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
考点：1．作图-旋转变换；2．作图题．
20．（2016四川省眉山市）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，A2坐标（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．
考点：1．作图-平移变换；2．作图-位似变换．学科网
21．（2016四川省达州市）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABEF是菱形．
【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF=AB，∴四边形ABEF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE=AB是解决问题（2）的关键．
考点：1．平行四边形的性质；2．作图—基本作图．
22．（2016山东省枣庄市）Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn=（其中a，b是常数，n≥4）
（1）通过画图，可得：四边形时，P4= ；五边形时，P5= ；
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
【答案】（1）1；5；（2）a=5，b=6．
【分析】（1）依题意画出图形，数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；
（2）将（1）中的数值代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

【点评】本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）画出图形，数出对角线交点的个数；（2）代入数据得出关于a、b的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．二元一次方程的应用；3．多边形的对角线．
23．（2016山东省青岛市）已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

【答案】作图见解析．
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、切线的判定；熟练掌握角平分线的作图，找出圆心O是解决问题的关键．
考点：作图—复杂作图．
24．（2016广东省）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．

【答案】（1）作图见解析；（2）8．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．
（2）根据三角形中位线定理即可解决．
【解析】（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．

（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．
【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
考点：1．三角形中位线定理；2．作图—基本作图．
25．（2016广东省广州市）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【答案】答案见解析．
【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CD∥AB即可．
【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．学科网
考点：作图—尺规作图的定义．
26．（2016广东省梅州市）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）四边形ABEF是 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 ，∠ABC= °．（直接填写结果）

【答案】（1）菱形；（2），120．
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．作图—基本作图．
27．（2016广西玉林市崇左市）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．

【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）（﹣2a，2b）．
【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析．
考点：1．作图-位似变换；2．作图-轴对称变换．
28．（2016广西南宁市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．
【解析】（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，

【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
考点：1．作图-位似变换；2．作图-平移变换．
29．（2016广西河池市）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．
（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．

【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．
【分析】（1）利用基本作图作BO⊥AC即可；
（2）先利用平行线的性质得∠EAC=∠BCA，再根据角平分线的定义和等量代换得到∠BCA=∠BAC，则BA=BC，然后根据等腰三角形的判定方法由BD⊥AO，AO平分∠BAD得到AB=AD，所以AB=AD=BC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的判定与性质．
考点：1．作图—基本作图；2．作图题．
30．（2016广西贵港市）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）6．
【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；
（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
考点：1．平行四边形的性质；2．作图—复杂作图．
31．（2016广西钦州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．

【答案】（1）（3，3）；（2）（1，2）．
【分析】（1）补充成网格结构，然后找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；再根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）根据旋转的性质画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB2C2，写出点C2的坐标即可．

（2）△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2是：

则点C的对应点C2的坐标是（1，2）．
【点评】本题考查的是轴对称和旋转变换的知识，作旋转图形时，先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，旋转前后的两个图形是全等的．
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换．
32．（2016云南省昆明市）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解析】（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．

【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称﹣最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．学科网
考点：1．作图-旋转变换；2．轴对称-最短路线问题；3．作图-平移变换；4．最值问题．
33．（2016内蒙古赤峰市）（10分）在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；
（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；
（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；
（4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．
（向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）

【答案】答案见解析．
【分析】（1）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；
（2）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可；
（3）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；
（4）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可．


【点评】此题主要考查了复杂作图，根据题意正确结合圆心位置以及半径的长画图是解题关键．
考点：作图—复杂作图．学科网
34．（2016吉林省）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点
（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图1中所画的平行四边形的面积为 ．

【答案】（1）答案见解析；（2）6．
【分析】（1）根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图1和图2中按要求画出平行四边形；
（2）根据平行四边形的面积公式计算．
【解析】（1）如图1，如图2；

（2）图1中所画的平行四边形的面积=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图
考点：1．作图—应用与设计作图；2．平行四边形的性质；3．作图题．
35．（2016宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4）
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．学科网
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图题．
36．（2016安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．
（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．

【点评】本题考查平移变换、轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的意义，图形的平移实际是点在平移，属于基础题，中考常考题型．
考点：作图-平移变换．
37．（2016四川省凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

【答案】（1）A1（﹣1，4），B1（1，4）；（2）．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．
考点：1．作图-旋转变换；2．扇形面积的计算．
38．（2016四川省巴中市）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．
【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．
（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．
解得：，∴点E（，），由解得：，∴点F（，），∴S△BEF==，∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．学科网
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题．
39．（2016四川省广安市）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

【答案】答案见解析．
【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为，，的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．

【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用网格特点作出直角．
考点：1．作图—相似变换；2．作图题．
40．（2016江苏省无锡市）如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于 ；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于；
②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．

【答案】（1）；（2）①A；BC；②答案见解析．
【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；
（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；
②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论．

故答案为：A；BC．

【点评】本题考查了作图中的寻找线段的三等分点以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BC的长；（2）①利用勾股定理求出AD的长；②会画线段的三等分点．本题属于中档题，难度不大，（2）中巧妙的借助了OA=2AC，从而利用比例找出了点P的位置．
考点：作图—复杂作图．
41．（2016江苏省盐城市）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC．
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可；
②利用射线的作法得出D点位置；
③连接DA、DC即可求解；
（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定，得出BO=AC是解题关键．
考点：1．作图—基本作图；2．矩形的判定．
42．（2016江西省）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．
【点评】本题考查作图﹣应用设计、正方形、长方形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
考点：作图—应用与设计作图．
43．（2016陕西省）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．
【解析】如图，AD为所作．

【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．
考点：1．作图—相似变换；2．作图题．
44．（2016江苏省南京市）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）BE交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；
（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2）小题的关键是利用圆周角定理作∠BPC=∠F．
考点：1．作图—相似变换；2．平行四边形的性质；3．作图题．
45．（2016浙江省台州市）请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？

【答案】（1）作图见解析；（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
【分析】（1）利用描点法可画出图象．
（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可．

②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
【点评】本题考查函数图象、作图与应用设计，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性，属于中考常考题型．学科网
考点：1．函数的图象；2．作图—应用与设计作图；3．分类讨论．
46．（2016浙江省宁波市）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．
【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可；
（2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可；
（3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可．

【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．轴对称的性质；3．中心对称．
47．（2016浙江省衢州市）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）四边形BEDF为菱形．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
考点：1．矩形的性质；2．作图—基本作图；3．矩形 菱形 正方形．
48．（2016湖北省孝感市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE= ．

【答案】（1）作图见解析；（2）．
【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考点：作图—基本作图．
49．（2016甘肃省兰州市）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

【答案】答案见解析．
【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．

【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
考点：1．正多边形和圆；2．作图—复杂作图．
50．（2016贵州省贵阳市）（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．
（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E．求出由线段ED，BE，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）

【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）．
【分析】（1）作AP平分∠CAB交⊙O于D；
（2）由等腰三角形性质得到∠CAD=∠ADC．又由∠ADC=∠B，得到∠CAD=∠B．
再根据角平分线定义得到∠CAD=∠DAB=∠B．由于直径所对圆周角为90°，得到∠ACB=90°，从而得到∠B的度数；
（3）先得到△OEB是30°角的直角三角形，从而得出OE，EB的长，然后把不规则图形面积转化为扇形BOD的面积减去Rt△OEB的面积求解．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图．也考查了圆周角定理和不规则图形面积的计算．
考点：1．作图—基本作图；2．圆周角定理；3．扇形面积的计算；4．作图题．
51．（2016贵州省黔南州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）：
①把△ABC沿BA方向平移，请在网格中画出当点A移动到点A1时的△A1B1C1；
②把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，如果网格中小正方形的边长为1，求点B1旋转到B2的路径长．

【答案】①作图见解析；②．
【分析】①根据△ABC沿BA方向平移，在网格中画出当点A移动到点A1时的△A1B1C1即可；
②画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，求出点B1旋转到B2的路径长即可．

【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，弧长公式，以及平移变换，熟练掌握旋转及平移性质是解本题的关键．学科网
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题；4．平移、旋转与对称．
52．（2016湖南省怀化市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

【答案】（1）作图见解析；（2）BC与⊙P相切．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
【解析】（1）如图所示，⊙P为所求的圆；

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．作图—复杂作图；3．作图题；4．与圆有关的位置关系．
53．（2016甘肃省白银市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．
【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．

【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
考点：1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．
54．（2016福建省厦门市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．（不要求尺规作图）

【答案】．
【分析】首先根据题意画出旋转后的三角形，易得△ACD是等腰直角三角形，然后由勾股定理求得AC的长．
【点评】此题考查了旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
考点：作图-旋转变换．
55．（2016福建省漳州市）（满分14分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是__________________；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说理）

【答案】（1）OM=ON；（2）OM=ON仍成立；（3）点O在正方形内（含边界）移动所形成的图形是对角线AC；（4）所形成的图形为直线AC．
【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；
（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；
（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，∴△MOE≌△NOF（AAS），∴OE=OF．
又∵OE⊥BC，OF⊥CD，∴点O在∠C的平分线上，∴O在移动过程中可形成线段AC；
（4）O在移动过程中可形成直线AC．

【点评】本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
考点：1．四边形综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．探究型；5．操作型；6．压轴题．
56．（2016福建省龙岩市）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）
【答案】（1）9.7；（2）作图见解析．
【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；
（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．
（2）从A站到D站的路线图如下：

【点评】本题主要考查了作图，解决问题的关键是掌握勾股定理以及图形的基本变换．在作图时要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．勾股定理的应用．学科网
57．（2016辽宁省丹东市）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．学科网
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题．
58．（2016黑龙江省哈尔滨市）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

【答案】（1）；（2）作图见解析．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
【解析】（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=；
（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及矩形的性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
考点：作图-轴对称变换．
59．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．

【点评】本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
考点：1．作图-旋转变换；2．轴对称-最短路线问题；3．作图-平移变换．
60．（2016黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2；
（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．
【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；
（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）OA==，点A经过点A1到达A2的路径总长==．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．学科网
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换．
61．（2016山西省）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是 ；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

【答案】（1）菱形；（2）证明见解析；（3）或；（4）答案见解析．
【分析】（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形；
（3）首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′C上，②点C″在C′C的延长线上，求出a的值；
（4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．
【点评】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键．
考点：1．几何变换综合题；2．操作型；3．分类讨论；4．压轴题．

【2015年题组】
1．（2015荆州）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：

故选A．
考点：剪纸问题．
2．（2015深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选D．
考点：作图—复杂作图．
3．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
【答案】D．
【解析】
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．
4．（2015潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D．
【解析】
考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．
5．（2015嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．根据作法无法判定PQ⊥l；
B．以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C．根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D．根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
从以上分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选A．
考点：作图—基本作图．
6．（2015北京市）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 ．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【解析】
考点：1．作图—基本作图；2．作图题．
7．（2015天津市）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（1）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于 ；
（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明） ．

【答案】（1）；（2）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．
【解析】
首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH=×5=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．
故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．作图题；4．最值问题；5．综合题．
8．（2015杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= ．

【答案】或．
【解析】

考点：1．剪纸问题；2．操作型；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
9．（2015自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）

【答案】作图见试题解析．
【解析】
试题分析：∵AB=，而AP＝，∴AP：BP=2：1；作BC=1，AD=2，连结CD交AB于P．点P就是所求的点．

考点：作图—应用与设计作图．
10．（2015北海）如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，
（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
（2）如图：

在△ABO和△CBO中，∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠ AOB=∠COB=90°，∴△ABO≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．
考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．
11．（2015南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，．
【解析】

考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．
12．（2015崇左）如图，△A1B1C1是△ABC向右平移四个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．
（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；
（2）求出△AOA1的面积．

【答案】（1）作图见试题解析，A（－3，1）， B（0，2），C（－1，4）；（2）2．
【解析】
考点：作图-平移变换．
13．（2015桂林）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是 ．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．
14．（2015百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．
（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．
①求证：OD⊥BC；
②求EF的长．

【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②．
【解析】
试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；
（2）①由AD是∠BAC的平分线，得到，再由垂径定理推论可得到结论；
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．
15．（2015贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．

【答案】（1）①作图见试题解析；②作图见试题解析；（2）（﹣1，﹣4）．
【解析】

考点：1．作图-旋转变换；2．两条直线相交或平行问题；3．作图-平移变换．
16．（2015南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

【答案】答案见试题解析．
【解析】

考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．

17．（2015常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

【答案】（1）△HDE，AD×DC；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析．
【解析】

故答案为：△HDE，AD×DC；
（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE，∴，即DH2=AD×DE，又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积，∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积；

（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边；

（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．

考点：1．相似形综合题；2．阅读型；3．新定义；4．压轴题；5．操作型．
18．（2015广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）

【答案】答案见试题解析．
【解析】

（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）；
（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）；
（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）；
（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：（4÷2）×（4÷2）÷2÷2=2×2÷2÷2=1（cm2）．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．



☞1年模拟
一、选择题
1．（2016北京市延庆县中考一模）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．SAS　　　　　　B．SSS　　　　　　C．AAS　　　　　　D．ASA
【答案】B．
【解析】
考点：1．作图—基本作图；2．全等三角形的判定．
2．（2016广东省深圳市宝安区中考二模）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，以B为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP并延长交AC于点D，若△BDC的面积为20，则△ABD的面积为（　　）

A．20　　　　　　B．18　　　　　　C．16　　　　　　D．12
【答案】C．
【解析】
试题分析：由作图知，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，则DE=DF，∵△BDC的面积为20，BC=10，∴DE=DF=4，∵AB=8，∴△ABD的面积=AB•DF=×8×4=16，故选C．

考点：1．作图—基本作图；2．角平分线的性质．
二、解答题
3．（2016届安徽省“合肥十校”联考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1Cl和△A2B2C2；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）P1（﹣b，a），P2（﹣b+6，a+2）．
【解析】
（2）由题意可得：P1（﹣b，a），P2（﹣b+6，a+2）．

考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换．
4．（2016广东省梅州市中考冲刺）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（不写解答过程，直接写出结果）
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标为 ；
（2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A2B2C2，则点B2的坐标为 ；
（3）将△ABC绕O点顺时针方向旋转90°，则点C走过的路径长为 ；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．

【答案】（1）（2，﹣3）；（2）（3，1）；（3）π；（4）（，0）．
【解析】
试题分析：（1）利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解；
（2）利用点的平移规律求解；
故答案为：（2，﹣3）；（3，1）；π；（，0）．

考点：1．作图-旋转变换；2．轴对称-最短路线问题；3．作图-平移变换；4．数形结合．
5．（2016广东省汕头市濠江区中考一模）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

【答案】答案见解析．
【解析】
考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．垂径定理；4．作图题．
6．（2016甘肃省中考押题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E；
（2）求证：BE平分∠ABC．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）直接作出AB的垂直平分线得出即可；
（2）利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出即可．
试题解析：（1）解：如图所示；
考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．