中考数学模拟汇编一47开放探究型问题

开放探究型问题

一、填空题

1、（北京四中模拟28）

两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是          ．

答案：略

二、解答题

1．在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1                  图2                        图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是                ； 此时          ；                                                                                                       

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=，则Q=            （用、L表示）．

PT与MN交于点，点的坐标是（       ，               ）．

解：（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN  ．

此时 ．                                                                                                  

（II）猜想：结论仍然成立．

证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

,且．．

又是等边三角形，

．

在与中：

(SAS) ．

DM=DE, 

在与中：

(SAS) 

MN=NE=NC+BM  

的周长Q=AM+AN+MN 

=AM+AN+(NC+BM)

               　　　　　　=(AM+BM)+(AN+NC)

               　　　　　　=AB+AC

              　　　　　　 =2AB

而等边的周长L=3AB

.

（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，

则Q=  2+   （用、L表示）．

Ｂ组

解答题

1．（ 天一实验学校 二模）已知：如图，直线：经过点M(0,)，一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：A1（x1,0）, A2（x2,0）, A3（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（为正整数），设

 （1）求的值；

 （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）

 （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．

探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．

答案：  

⑴∵M(0,在直线y=x+b上，

∴b=                                            

⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直线l上，∴当x=1时，y1=×1+=

∴B1(1,)

又∵A1(d,0)   A2(2-d,0)

设y=a(x-d)(x-2+d),把B1(1,)代入得：a=-

∴过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为y=-(x-d)(x-2+d)

(或写出顶点式为y=- (x-1) +)         

⑶存在美丽抛物线。

由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1,∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1。

∵当x=1时，y1=×1+=<1;

当x=2时，y2=×2+=<1

当x=3时，y2=×3+=1>1

∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.

①若B1为顶点，由B1(1,)，则d=1-=

②若B2为顶点，由B2(2,)，则d=1-=

综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线。

２．（杭州市西湖区模拟）（本题12分）矩形在直角坐标系中的位置如图所示，、两点的坐标分别为、，直线与边相交于点.

    (1) 若抛物线经过、两点，试确定此抛物线的表达式；

(2) 若以点为圆心的⊙与直线相切，试求⊙的半径；

(3) 设(1)中抛物线的对称轴与直线交于点，在对称轴上是否存在点，以、、为顶点的三角形与相似，若存在,试求出符合条件的点的坐标；若不存在，试说明理由.

答案：（1）解   得D点的坐标为D（4，3）      　

抛物线经过D（4，3）、A（6，0），可得   　

（2）∵CD=4，OC=3，OD=.  sin∠CDO=，过A作AH⊥OD于H，

则AH=OAsin∠DOA=6×==3.6，   ∴当直线OD与⊙A相切时，r=3.6.  ………8分

（3）设抛物线的对称轴与轴交于点Q，则点Q符合条件.∵CB∥OA，∴∠QOM=∠ODC，

∴Rt△QOM ∽Rt△CDO.  ∵对称轴=，∴Q点的坐标为Q（3，0）.

又过O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q，则点Q也符合条件.∵对称轴平行于轴，

∴∠QMO=∠DOC，∴Rt△QMO∽Rt△DOC.  在Rt△QQO和Rt△DCO中，QO=CO=3，

∠Q=∠ODC，∴Rt△QQO≌Rt△DCO，∴CD= QQ=4，∵Q位于第四象限，

∴Q（3，-4）.因此，符合条件的点有两个，分别是Q（3，0），Q（3，-4）. 

３．（灌南县新集中学一模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

（3）是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

答案：．解：（1）由题意知，四边形ABNQ为矩形，∴BN＝AQ＝3－t

∴NC＝BC－BN＝4－(3－t)＝1＋t．

在Rt△ABC中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝3 2＋4 2＝25，∴AC＝5

在Rt△MNC中，cos∠MCN＝＝＝  ∴MC＝(1＋t)

（2）∵QD∥PC，∴当QD＝PC时，四边形PCDQ构成平行四边形[来源:学科网]

∴t＝4－t，∴t＝2   ∴当t＝2时，四边形PCDQ构成平行四边形．

（3）若射线QN将△ABC的周长平分，则有MC＋NC＝AM＋BN＋AB

即(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5)  解得t＝．而MN＝NC＝(1＋t)

∴S△MNC ＝NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2

当t＝时，S△MNC ＝(1＋)2＝

而S△ABC ＝××4×3＝3，∴S△MNC ≠S△ABC

∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分

（4）若△PMC为等腰三角形，则：

①当MP＝MC时（如图1），则有：NP＝NC

即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t)  解得t＝．

当CM＝CP时（如图2），则有：(1＋t)＝4－t  解得t＝．

③当PM＝PC时（如图3），则有：

在Rt△MNP中，PM 2＝MN 2＋PN 2  又MN＝NC＝(1＋t)[来源:Z。xx。k.Com]

PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3

∴[(1＋t)]2＋(2t－3)2＝(4－t)2解得t1＝，t2＝－1（不合题意，舍去）

综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△PMC为等腰三角形．

４. （浙江杭州育才初中模拟）《天天伴我学数学》一道作业题。如图1：请你想办法求出五角星中的值。由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果。下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图像，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数。有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看。很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C和∠E；∠B和∠D分别用外角∠1和∠2表示。于是得到=180°。根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中的值吗？请给予证明。(原创)

５、（北京四中中考模拟13）已知：如图，⊙O和⊙O相交于A、B两点， 动点P在⊙O上，且在⊙ 外，直线PA、PB分别交⊙O于C、D.问：⊙O的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明；

答案：解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O与⊙O的交点，弦AB与点P的位置关系无关，连结AD，∠ADP在⊙O中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O中所对的弦为AB，所以∠P为定值.

∵∠CAD =∠ADP +∠P，∴∠CAD为定值，

在⊙O中∠CAD对弦CD，∴CD的长与点P的位置无关.毛

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

６、（北京四中中考模拟14）

探究题:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为X，探究：

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出响应的X的值；如果不可能，请说明理由。

答案：(1):过点P作MN∥BC,分别交AB与点M,交CD于N,则有△AMP和△CNP都是等腰三角形,可证△QNP≌△PMB,得PQ=PB.

(2)图(2)由AP=x得AM=PM=NQ=x,CQ=CN-NQ=BM-AM=1-x,

y=(BC+CQ)= x2-x+1(0≤x＜)

（3）三角形PCQ为等腰三角形.

①点P与点A重合时，点Q与点D重合,这时PQ=QC, 三角形PCQ为等腰三角形.

②点Q在DC的延长线上时且CP=CQ时，三角形PCQ为等腰三角形。求得x=1.毛

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

7、（黄冈浠水模拟1）如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；

（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案：（1）由题意可设抛物线的解析式为．抛物线过原点，

．．抛物线的解析式为，

即．

（2）如图1，当四边形是平行四边形时，

．

由，得，，，．

点的横坐标为．将代入，

得，；

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为．

 当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．···················（8分）

（3）如图2，由抛物线的对称性可知：

，．

若与相似，

必须有．

设交抛物线的对称轴于点，

显然，直线的解析式为．

由，得，．．过作轴，

在中，，，．

．．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

与不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．

[来源:学科网ZXXK]

8、（黄冈浠水模拟2）如图二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6.

(1)利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A(    ,   )、B(    ,      )；

(2)求二次函数的解析式；

(3)该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案：(1) ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0  );

(2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)

∴y=a(x-4)2+k         ………………①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k  ………………②，由①②解得a=，k=，∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－或y=x－x+………………………………………5分

(3)解法一：∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴， ∴，∴点P的坐标为(4，)…………………8分

解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=－+

(4)由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．…………………………14分

9、（杭州模拟17）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（2010昆明中考第25题）

2

答案：（1）设抛物线的解析式为：

由题意得：  

解得： 

∴抛物线的解析式为：  

（2）存在                                         

（2）抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C

连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2,  ∠CBM = 30°,  CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 ,   ∴B (-2, 0)                  

   在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴DM = 1,   CD = =         ∴   C (1, )

设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：

         解得： 

∴切线BC的解析式为：

∵点P为抛物线与切线的交点

由         解得：        

∴点P的坐标为：，     ………………4分[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∵ 抛物线的对称轴是直线

此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形

于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)

得到B、C关于直线的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：

，即为所求的点. ………………4分

（本题其它解法参照此标准给分）

10.（湖北省崇阳县城关中学模拟） 如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30o，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x     轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是          .

 答案：(，)(，)(3，)(2，2)

11.（广东省澄海实验学校模拟）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF的长均为4。

（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时，如图23-1，求GH:GK的值.

(2)现将三角板EFG由图1所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角满足条件:

0°<<30°,如图2,EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你的结论.

（1）解：∵GE⊥AC于 K，GF⊥BC于H,

            ∴∠AKG =∠GHB =90°

∵∠ACB =90°

∴GK∥BC……………………………(1分)

∴∠AGK =∠B =30°………………(2分)

∵G与AB的中点O重合

∴AG = GB

∴△AKG≌△GHB……………………(3分)

∴KG = HB……………………………(4分)

在Rt△GHB中，tan∠B =…(5分)

∴……………………………(6分)

     (2)GH：GK的值不改变。………………………(7分)

证明：过点G作GP⊥AC于点P，GQ⊥BC于点Q，

∵∠C = 90°

∴四边形PCQG是矩形……………………(8分)

∴∠PGK+∠KGO = 90°

∵∠EGF = 90°

∴∠HGQ+∠KGQ = 90°

∴∠PGK = ∠HGQ ………………………(9分)

∵∠GPK =∠GQH = 90°

∴△PGK∽△QGH…………………………(10分)

∴ 由(1)可得：…… (11分)

∴………………………………(12分)

12．（深圳二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°

（１）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE＝AD＋BE（不必证明）

（２）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE＝AD＋BE

（３）当点D在BA的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

[来源:学科网]

解：（２）证明：

过点A作AF ⊥AB ，使AF＝AB，连接DF

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC＝AB　∠CAB＝∠B＝45°，

∴∠FAC＝45°

∴△CAF≌△CBE…………………………………………3分

∴CF＝CE　∠ACF＝∠BCE

∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°

∴∠ACD＋∠BCE＝45°

∴∠ACD＋∠ACF＝45°

即∠DCF＝45°

∴∠DCF＝∠DCE

又CD＝CD

∴△CDF≌△CDE

∴DF＝DE

∵AD＋AF＝DF

∴AD＋BE＝DE…………………………………………7分

（３）结论仍然成立

如图证法同（２）…………………………………………12分

13、（深圳市模四）（深圳市模四）（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。

（1）P点的坐标为（             ，               ）；（用含x的代数式表示）

（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。

（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？

你发现了几种情况？写出你的研究成果。

解：（１）（6－x , x ）; 

 (2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6.∴S=（6—x）×x=(﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S的最大值为6,  此时x =3.

 (3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ

①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6,  ∴x=2; 

②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x

在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (x) 2∴x=

 ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝6—x ∴x=6—x ∴x=  

综上所述，x=2，或x=，或x=。