江苏省常熟市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

2022~2023学年第二学期期中试卷

高一数学

2023.04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数满足，则的虚部是

A.3      B.     C.     D.

2.已知向量，，则在上的投影向量为

A.     B.     C.     D.

3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于

A.8      B.     C.8或    D.6

4.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则

A.     B.     C.      D.

5.在中，若，则的形状为

A.等腰三角形          B.直角三角形

C.等腰直角三角形         D.等腰三角形或直角三角形

6.已知，则的值为

A.     B.     C.     D.

7.在中，内角为，，，且。若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A.        B.

C.       D.

8.已知，，若平面内一点，满足，则的最大值是

A.     B.     C.      D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。

9.下列关于平面向量的说法中正确的是

A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得

B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C.若且，则

D.若点为的重心，则

10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。依据欧拉公式，下列选项中正确的是

A.对应的点位于第二象限      B.为纯虚数

C.的模长等于       D.的共轭复数为

11.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则

A.在上是减函数

B.由可得是的整数倍

C.是奇函数

D.函数在区间上有8个零点

12.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则。“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”。若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则

A.为的垂心        B.

C.    D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13.若是虚数单位，，则__________。

14.已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于__________。

15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞。若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为__________。

16.如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

（1）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；

（2）已知复数为纯虚数，求实数的值。

18.（本小题12分）

已知平面直角坐标系内三点，，在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点。

（1）求实数，的值；

（2）设的重心为，且，求的值。

19.（本小题12分）

已知向量，，且函数。

（1）若，且，求的值；

（2）若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到的图象，求函数在的值域。

20.（本小题12分）

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理。如图，一个半径为的筒车，按逆时针方向转一周的时长为，筒车的轴心距离水面的高度为，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：，在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为。

（1）求，，，的值；

（2）求盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；

（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求出高度差的最大值。

21.（本小题12分）

在①，②，③（为面积），三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答。

在中，角，，的对边分别为，，，且选条件：__________。

（1）求；

（2）作，使得四边形满足，，求长的取值范围。

22.（本小题12分）

对于函数，，若对任意且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”。

（1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；

（2）在满足（1）且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。

2022~2023学年第二学期期中试卷

高一数学参考答案

2023.04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13.   14.   15.  16.20，

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）设，由题意得，

解得，，

因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，则。

（2）

，

由题意得，

解得。

18.解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，

又，

所以，①

因为，

所以，即，②

由①、②解得或。

（2）因为，所以为的中点，

所以，。

所以，，，，

因此。

19.解：（1）因为向量，，

所以。

因为，所以。

又，，

因此，

所以

。

（2）因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，所以。

当时，，

所以，即函数在的值域为

20.解：（1）由题知，得，

由题意得，解得，，

时，，，，

。

（2）由，得，

，即，，

当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时。

（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（领先于），则，

经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别为

和，

，，

的最大值为。

21.解：（1）选①：，由正弦定理得，

，即，

又，，

因为，，故。

，。

选②：，由正弦定理得，即有，

所以，

，。

选③：，即，即，

，，

，。

（2）设，则，，

在中，由正弦定理得，

可得，

在中，由正弦定理得，

可得

，

因为，可得，

当时，即，可得，

当时，即，可得，

故的取值范围是。

22.解：（1）因为，，

所以，

因为，，所以。

①当时，，由题意得，解得；

②当时，，由题意得，解得

③当时，，满足题目要求。

综上可得。

（2），

令，则，。

故。

因为任意的，总存在，使得成立，

所以，即，

又，故实数的取值范围为。