第27讲 三角函数图像变换及最值-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第27讲 三角函数图像变换及最值

通关一、三角函数图像变换

由函数 的图像变换为函数 的图像.

方法一 先相位变换,后周期变换,再振幅变换.

  的图像 的图像 的图像 的图像.

方法二 先周期变换,后相位变换,再振幅变换.

的图像的图像 的图像 的图像

通关二、三角函数最值题型归类

1.,引入辅助角,化为求解.

2.,设,化为二次函数在闭区间,上的最值求解, 也可以是或型.

3.,设,则,故

,故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.

4. 与 , 根据根函数的有界性, 既可用分析法求最值,

也可用不等式法求最值,更可用数形结合法求最值. 这里需要注意的是化为关于或 的函数求解时务必注意或的范围.

结论一、五点法作的图像

找五个关键点,分别为使取得最小值、最大值的点和曲线与轴的交点. 其步聚为:

1. 先确定周期 ,在一个周期内作出图像;

2. 令 , 令 分别取 , 求出对应的值,列表如下:

由此可得五个关键点；

3. 描点画图，再利用函数的周期性把所得图像向左右分别延伸，得到 的图像.

【例1】画出函数 的简图,并说明此函数图形怎样由的图像变化而来.

【变式】如何由的图像得到的图像.

结论二、型函数的最值

可将中的看作,即令,则,这样就转化为二次函数的最值问题.但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变,即要根据给定的的取值范围,求出的取值范围.

【例2】设, 则函数的值域为_________.

【变式】函数 的值域为（ ）.

A.  B.  C.  D.

结论三、型函数的最值

可利用降幂公式（，，）将整理转化为，引入辅助角，化为，求最值.

【例3】函数 的最大值为_____________.

【变式】设，则函数的值域为___________.

结论四、型函数的最值

对于，令，，因为

，所以，则函数就变为的形式，因此，此类函数的最值也可以通过换元转化为二次函数的最值问题.对于形如的函数也可以采用同样的方法.此类题目也应该注意换元前后变量的取值范围要保持相同.

【例4】函数的最小值为___________.

【变式】函数 的最大值为___________.

结论五、型函数的最值

此类题目的特点是分子或分母中含有或的一次式的形式，一般可将其化为的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值.

【例5】函数的值域为___________.

【变式】 函数的值域为___________.