第24讲 两角和与差公式-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第24讲 两角和与差公式

【知识通关】

通关一、两角和与差的余弦公式

【证明】证法一: 如图,在直角坐标系内作单位圆，并作出角与，使角的始边为，交 于点，终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点.则，，，.由及两点间的距离公式，得.

展开并整理，得,所以. 于是.

证法二: 如图，以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角，，

它们的终边分别与单位圆相交于点,则，，.

因此存在，使或成立.因为

. 所以.

于是.

通关二、两角和与差的正弦公式

【证明】

；

通关三、两角和与差的正切公式

【证明】，分子、分母同时除以 得，把公式中的换为，得.

结论一、两角和与差的余弦

变形

变形

【例1】已知，，知的值为__________.

【答案】.

【解析】依题意有，所以，所以.

【变式】若，，则的值为（ ）

 A.  B.  C.  D. 1 

【答案】B.

【解析】得.所以.故选B.

结论二、两角和与差的正弦

变形

变形

【例2】若，，则的值为（ ）

 A. 5 B. 1 C. 6 D.

【答案】A.

【解析】由题意知，, 所以，

，所以，即.故选A.

【变式】已知，，则__________.

【答案】

【解析】因为，两边平方可得①，，

两边平方可得②，由①+②得，

即，所以.所以.

结论三、两角和与差的正切

；变形：

；；

.

【例3】已知，则（ ）

 A. B. C.1 D. 2

 【答案】D.

【解析】因为,所以.令,则,整理得，解得，即，故选D.

【变式】已知,则（ ）

 A. B. C. D.

[答案]

【解析】因为,所以,所以,

故选.

结论四、正切定值

若,则.

【例】4 _____________.

【答案】

【解析】因为,所以

.

【变式】的值是（ ）

 A. B.4 C. D.

【答案】

【解析】因为,所以.同理可得

所以故选.

结论五、给值求角问题

对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后关紧断该角所在的范围，求出角。如果角度所在范围比较大，或者难以求出时，就需要考虑缩小角的范围再做。

【例】5已知均为锐角,且,则____________.

【答案】

【解析】解法一:由已知得,,

又由于,所以,所以.所以.

所以.

解法二：由已知得,又,

所以.

【变式】已知均为锐角,且,则__________.

【答案】

【解析】因为,所以,

所以,又因为,

,所以,所以,

所以.

结论六、常见角的变换

【例6】 (1)求的值;

(2)求的值:

(3)求的值.

【解析】(1)原式

(2)原式

(3)原式

【变式】已知,则_____________.

【解析】 解法一： .

解法二： .