第22讲 同角三角函数关系--2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第22讲 同角三角函数关系

通关一、三角函数定义

设是一个任意角,是角终边上任意一点(与原点不重合),它与原点

的距离(如图所示).

(1)比值叫作的正弦,记作,即;

(2)比值叫作的余弦,记作,即;

(3)比值叫作的正切,记作,即.

要点诠释：

（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么.

(2)三角函数符号是一个整体,离开的,tan等是没有意义的,它们表示的是一个比值,而不是,与的积.

通关二、三角函数在各象限的符号

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时,有以下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦。

通关三、特殊角的三角函数值

结论一、任意角的三角函数

在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么

(1)比值叫作的正弦,记作,即;

(2)比值叫作的余弦,记作,即;

(3)比值叫作的正切,记作,即.

【例1】已知角的终边上一点的坐标是,且,求和

的值.

【解析】，又即rx=3x．由于x≠0，所以r=3，所以，即.

(1)当时,点的坐标是.

(2)当时,点的坐标是.

【变式】已知角的终边上的一点的坐标为,且,求

和值.

【解析】由三角函数的定义知.

当时,为第二象限角,;

当时,为第三象限角,.

结论二、三角函数值在各象限的符号

当角为第一象限角时,,反之也成立;

当角为第二象限角时,,反之也成立;

当角为第三象限角时,,反之也成立;

当角为第四象限角时,,反之也成立.

三角函数值在各象限内的符号口认:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

【例2】已知,则函数的值域为____________.

【答案】

【解析】由题知原函数定义域为当是第一像限角时,;当是第二象限角时,当是第三象限角时,当是第四象限角时,.所以函数的值域为.

【变式】若,则的值.

A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定,与有关

【答案】D

【解析】 异号为第二像限或第四象限角.

(1)若是第二象限角,则,又由正余弦函数的定义知1,故,将它看成一个弧度数,为第四象限角,从而;同理,为第一象限角,故.所以,当是第二象限角时,.

(2)若是第四象限角,类似讨论得

综上,故选D.

结论三、已知一个三角函数值,求其余两个三角函数值

一画，画一个直角三角形；二用，用勾股定理求出各条边；三求，求出当角为锐角时的三角函数值；四定，利用α所在象限确定符号．(特例：如出现以5、13、17、25为分母的应考虑其特殊角的三角函数值).

【例3】 已知是第一象限角,,则等于.

 A. B. C. D.

【答案】

【解析】因为,所以,因为,所以.因为是第一象限角,所以.故选B.

【变式】已知,且,则.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为,且,所以,

所以.故选.

结论四、同角三角函数的基本关系

1. 平方关系:

2. 公式常见变形:

【例4】已知 是第三象限角,则 _________.

【答案】

【解析】原式

因为 是第三象限角, 所以 . 所以原式 .

【变式】已知 是第四象限角,化简 为 （ ）

 A.  B.  C.  D.

【答案】

【解析】 原式

因为 是第四象限角,所以 所以原式 故选 .

结论五、已知值的求值问题(齐次式)

1. 利用商的关系 , 实现角 的弦切互化.

2. 没有分式的变成分式,利用分母为 1, 且 , 然后使分子、分母 的次数相同,如果次数不够,要补次, 主要利用 ,再令分子、分母同除以 , 得到 , 代入可求值.

【例5】已知 , 则 .

 A.  B.  C.  D.

【 答案】

【解析】原式，代入．故选D.

【变式】若，则（ ）

 A.  B.  C.  D.

【答案】A.

【解析】因为,所以. 故选A.

结论六、三角函数“三剑客”

对于，，这三个式子，若已知其中某一个式子的值，可利用平方关系“”，灵活地运用方程思想, 求出另两个式子的值，即；

；.

【例6】已知，则（ ）.

 A. B. C. D. 

【答案】A.

【解析】因为,所以,

所以. 故选A.

【变式】已知，求下列各式的值.

（1）；（2）；（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】1）.因为，所以

.

（2）原式.

（3）

原式

因为，，

所以，

所以, 所以原式.