第29讲 向量的概念和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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通关一、向量的线性运算
通关二、几种特殊向量
结论一、三角形法则与平行四边形法则
1.向量的加法:
(1)三角形法则：，，的和（或和向量）
(2)平行四边形法则:
不共线，以为领边作平行四边形，则
(3)多边形法则:
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.
2.向量的减法:
如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.
【例1】已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，等价的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D．
【解析】是正六边形，①；②；③；④．以上四个表达式都是等价的．
【变式】 如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A．
【解析】由图可知在中，即故选A.
结论二、单位向量
方向上的单位向量（长度为1，与方向相同）
【例2】 设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；②若与平行，则；反向时，不正确；③若与平行且，则．同向时正确，反向时不正确；
所以不正确命题的个数为3．
【变式】 已知点，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知点，，，，，，，
则与向量同方向的单位向量为，
结论三、共线向量（平行向量）
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.当时，共线同向；当时，共线反向.
【例3】给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，则；
④的充要条件是；
⑤若，则；
其中正确的序号是_____________________
【答案】②③
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.因为，所以.又是不共线的四点，所以四边形是平行四边形，则因此.
③正确.因为，所以的长度相等且方向相同；又，所以的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故.
④不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件.
⑤不正确.考虑这种特殊情况.综上，正确命题的序号是②③.
【变式】 平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】 选项A中，共线不一定同向； 选项B中，是非零向量也可以共线；对于选项：当，时不成立，故选D.
结论四、共线求参
用两个不共线向量（如）表示向量，设，化成关于的方程，由于不共线，则，解方程组即可.
【例4】 设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．或2B．或3C．2或D．1或
【答案】C
【解析】，，，
，；
，，三点共线；与共线；，化简得，即；或．
【变式】 设为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则________________
【答案】0
【解析】设，将代入②得且与不共线，因此，解得，所以.
结论五、平面向量基本定理
如果和是平面内两个不平行的向量，为该平面任一向量，则存在唯一的一对实数和使得.
评注：
定理中和是两个不共线的向量；
为平面内任一向量，且实数对是唯一的；
平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.
【例5】在中，若点满足，则=（ ）
【答案】A
【解析】如图，因为，所以，又因为，所以，，
【变式】 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则=（ ）
【答案】B
【解析】解法一：由题意可得，，再由可得．作平行交于点，，．
，.
解法二：由于，则，将m，n代入即可.故选B.
结论六、中线定理
若为边BC上的中线，则
【例】6 如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则=（ ）
【答案】B
【解析】在中，是边的中线，是边的中点，，，．
【变式】 如图，在中，，，分别为线段，，的中点，则=（ ）
B．C．D．
【答案】D
【解析】 .
故选D.
结论七、向量共线模型
如图，在中，若点D是边BC上的点，且，则向量(系数之和为1).
【例7】如图，在中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，若，，则m+n的值为_________________
【答案】 2
【解析】 因为点0为BC边的中点，所以；
因为，，所以.
因为三点M，O，N在一条直线上，所以，即得m+n=2
【变式】 设、、分别是的三边、、上的点，且，，，则与（ ）
A.反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
【答案】 A
【解析】如图所示，中，，，，根据定比分点的向量式，得，，，以上三式相加，得，所以，与反向共线．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律:
结合律:
减法
求与的相反向量 的和的运算叫作与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的 积的运算
（1）
（2）时，与方向相同；时，与方向相反；时，

特殊向量
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
单位向量记作
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也 叫共线向量)
与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量
特殊向量
相反向量长 度相等且方向相反的两个向量
若为相反向量,则