江苏省南京市2023届高三二模数学试题及答案

南京市2023届高三年级第二次模拟考试

数学

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1. 集合的子集个数为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（    ）

A  B.  C.  D.

3. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（    ）

A  B.  C.  D.

4. 在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为（    ）

A. 丙参加了铅球 B. 乙参加了铅球

C. 丙参加了标枪 D. 甲参加了标枪

5. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪、表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即为天一对应的经历过的两仪数量总和0，为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则为（    ）

A. 84 B. 98 C. 112 D. 128

6. 直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

7. 已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9. 在的展开式中（    ）

A. 常数顼为160 B. 含项的系数为60

C. 第4项的二项式系数为15 D. 所有项的系数和为1

10. 若实数，满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，．下列说法正确为（    ）

A. 若，则函数与的图象有两个公共点

B. 若函数与的图象有两个公共点，则

C. 若，则函数有且仅有两个零点

D. 若在和处的切线相互垂直，则

12. 已知四棱柱的底面为正方形，，，则（    ）

A. 点在平面内的射影在上

B. 平面

C. 与平面的交点是的重心

D. 二面角的大小为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13. 若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为___________．

14. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件一个函数___________．

15. 一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为___________．

16. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经）一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知，．

（1）若函数图象两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；

（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．

18. 已知数列的前项和为，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：．

19. 在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．

（1）求证：；

（2）若点到直线的距离为，求的值．

20. 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．

（1）若，求；

（2）若，，．

①求；

②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．

21. 已知函数，．

（1）若，求证：；

（2）若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围．

22. 已知拋物线和圆．

（1）若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；

（2）已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．