2023-2024学年江苏省南京市四校（大厂、溧水二高、秦中、江浦文昌）高一上学期期中调研考试数学试题(含解析 )

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这是一份2023-2024学年江苏省南京市四校（大厂、溧水二高、秦中、江浦文昌）高一上学期期中调研考试数学试题(含解析 )，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|-2A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}
2.命题“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是
( )
A. ∀x∈R，x2+2x+1≤0B. ∀x∈R，x2+2x+1<0
C. ∃x∈R，使得x2+2x+1<0D. ∃x∈R，使得x2+2x+1≤0
3.在下列函数中，与函数y=x表示同一函数的
( )
A. y=x2xB. y=3x3C. y=( x)2D. y=x,x≥0,-x,x<0
4.下列等式成立的是( )
A. lg223=3lg22B. lg28+4=lg28+lg24
C. lg28-4=lg28-lg24D. lg28lg24=lg284
5.已知函数fx=2x+1,x<2-x2+ax,x≥2，若f[f(1)]=-6，则实数a的值为
( )
A. -3B. 3C. -1D. 1
6.关于x的不等式3x+ax-1≤1的解集为-52,1，则实数a的值为
( )
A. -6B. -72C. 32D. 4
7.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设N=45×910，则N所在的区间为
( )
A. 1010,1011B. 1011,1012C. 1012,1013D. 1013,1014
8.已知偶函数f(x)在区间0,+∞上单调递减，则满足f(2x-1)>f(1) 的实数x的取值范围是
( )
A. -∞,1B. 1,+∞C. 0,1D. 12,1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设集合M=x|0≤x≤2,N=y|0≤y≤2，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系得有
( )
A. B.
C. D.
10.已知P:xx2+3≥01-4x>-3，那么命题P的一个必要不充分条件是
( )
A. 0≤x<1B. -111.已知函数y=x2+ax+ba>0有且只有一个零点，则下列结论中正确的是
( )
A. a2=4b
B. a2-b2≤4
C. a2+1b≥4
D. 若不等式x2+ax-b<0的解集为xx10
12.已知函数f(x)=xx+1，则( )
A. fx是奇函数
B. fx在[0,+∞)上单调递增
C. 方程fx-x=0有两个实数根
D. 函数fx的值域是-∞,-1∪0,+∞
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数，则a等于________．
14.已知集合A=xax2-2x-1=0，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______．
15.已知函数fx是定义域为-∞,0∪0,+∞的奇函数，在区间0,+∞上是增函数，当x>0时，fx的图象如图所示．若xfx-f-x<0，则实数x的取值范围是______．
16.若不等式x2-(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知函数f(x)= 3-x+1 x的定义域是A，集合B={x|1-a-1)．
(1)若a=0，求A∩B，A∪B；
(2)若命题“∀x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围．
18.(本小题12.0分)
化简求值：
(1)计算lg25+lg2lg50+lg22：
(2)已知a+a-1=3，求a4-a-4a2-a-2的值．
19.(本小题12.0分)
已知函数fx=ax+bx2+4是定义在-2,2上的奇函数，且f1=15．
(1)求a、b的值；
(2)用单调性定义证明：函数fx在区间-2,2上单调递增．
20.(本小题12.0分)
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？
(2)若使每间虎笼面积为36m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
21.(本小题12.0分)
已知二次函数fx=ax2+bx+ca,b,c∈R满足下列两个条件：
①fx<0的解集为x-1(1)求a,b,c的值；
(2)求关于x的不等式fx≥mx-2m-3m∈R的解集．
22.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+ax-1．
(1)当a=2时，求f(x)的值域；
(2)若存在x∈R，使得不等式f(x)≤2x-2成立，求a的取值范围；
(3)讨论函数f(x)在0,+∞上的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的运算法则，属于基础题．
直接利用交集的定义求解即可．
【解答】
解：因为集合A=x|-2故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．
解：全称命题的否定是特称命题，
命题∀x∈R，x2+2x+1>0的否定是∃x∈R，使得x2+2x+1≤0，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】
解：函数y=x的定义域为R，
对于A：y=x2x的定义域为{x|x≠0}，它们定义域不同，
∴不是同一函数，
对于B：y=3x3=x的定义域为R，它们的定义域相同，
对应关系也相同，∴是同一函数；
对于C：y=( x)2的定义域为{x|x≥0}，它们定义域不同，∴不是同一函数；
对于D：y=x,(x⩾0)-x,(x<0)与y=x的对应关系不同，∴不是同一函数；
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可．
解：对于A：lg223=3lg22，故 A正确；
对于B：lg28+4=lg212，故 B错误；
对于C：lg28-4=lg24=lg222=2lg22=2，故 C错误；
对于D：lg28lg24=lg223lg222=3lg222lg22=32，故 D错误；
故选：A
5.【答案】D
【解析】【分析】先求出f(1)=3，则可得f[f(1)]=f(3)=-6，解方程可得a的值．
解：因为f(1)=21+1=3，所以f[f(1)]=f(3)=-32+3a=-9+3a=-6，
解得a=1．
故选：D
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式求解，属于基础题．
将不等式转化为2x+a+1x-1⩽0x-1≠0，结合解集为[-52,1)即可求解．
【解答】
解：3x+ax-1≤1⇔3x+ax-1-1⩽0⇔2x+a+1x-1⩽0⇒2x+a+1x-1⩽0x-1≠0
因为不等式3x+ax-1≤1的解集为[-52,1)，
则2×-52+a+1=0⇒a=4．
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得lgN，由此可得N．
解：∵N=45×910，∴lgN=lg45+lg910=lg210+lg320=10lg2+20lg3≈3.010+9.542=12.552，
∴N=1012.552∈1012,1013．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据题意得f2x-1>f(1)，进而得2x-1<1，再解不等式即可．
解：因为偶函数fx在区间0,+∞上单调递减，
且满足f2x-1>f(1)，
所以不等式等价于f2x-1>f(1)，即2x-1<1，
所以-1<2x-1<1，解得0即x的取值范围是(0,1)．
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据函数的定义，任意x∈M，存在唯一的y∈N与之对应分别判断即可．
解：根据函数的定义，任意x∈M，存在唯一的y∈N与之对应，
对于A，当1对于B，满足任意x∈M，存在唯一的y∈N与之对应，故 B正确;
对于C，满足任意x∈M，存在唯一的y∈N与之对应，故 C正确;
对于D，当0故选：BC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】解不等式组得命题P的充要条件，然后根据集合的包含关系进行判断即可．
解：解不等式xx2+3≥0得x≥0，
解不等式1-4x>-3得x<1，
所以P的充要条件为0≤x<1， A错误；
记A=0,1，因为A⫋-1,1，0,1⫋A，A⫋0,+∞,
所以，BD为命题P的必要不充分条件，C为命题P的充分不必要条件．
故选：BD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】根据函数y=x2+ax+ba>0有且只有一个零点，由Δ=a2-4b=0，再逐项判断．
解：因为函数y=x2+ax+ba>0有且只有一个零点，
所以Δ=a2-4b=0，即a2=4b，故 A正确；
a2-b2=-b2+4b=-b-22+4≤4，故 B正确；
a2+1b=4b+1b≥2 4b⋅1b=4，当且仅当4b=1b，即b=12时，等号成立，故 C正确；
若不等式x2+ax-b<0的解集为xx1故选：ABC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，函数的零点与值域，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题．
由定义域可判断A，由反比例函数与函数图象的平移可判断BD，由函数图象的交点可判断C．
【解答】
解：f(x)=xx+1=xx+1,x∈0,+∞-xx+1,∈-∞,-1∪-1,0,
对于A：f(x)=xx+1的定义域是xx≠-1，不关于原点对称，所以fx不是奇函数，故A错误；
对于B：当x>0时，f(x)=xx+1=1-1x+1由y=-1x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故fx在[0,+∞)上单调递增，故B正确；
对于C：方程fx-x=0有两个实数根，等价于y=fx与y=x的图象有两个交点，
结合图象可知C正确；
对于D：当x≥0时，f(x)=xx+1=1-1x+1∈0,1；
又当x<0且x≠-1时，f(x)=-xx+1=-1+1x+1，
此时f(x)由y=1x的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
此时f(x)∈-∞,-1∪0,+∞，
所以函数fx的值域是-∞,-1∪0,+∞，故D正确；
故选：BCD．
13.【答案】12
【解析】【分析】本题主要考查奇函数的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．
由题得x≠-12且x≠a，根据函数是奇函数即得解．
解：由题得(2x+1)(x-a)≠0，
所以x≠-12且x≠a，
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，
∴a=12，此时f(x)=x(2x+1)(x-12)=2x4x2-1，
f(-x)=-2x4x2-1=-f(x),∴f(x)为奇函数．
故答案为：12
14.【答案】0,-1
【解析】【分析】分a=0和a≠0讨论，当a≠0时，利用判别式即可求解．
解：当a=0时，由方程-2x-1=0解得x=-12，集合A只有一个元素；
当a≠0时，因为集合A中只有一个元素，则Δ=-22-4a×-1=0，解得a=-1．
综上，实数a的取值的集合为0,-1．
故答案为：0,-1
15.【答案】-3,0∪0,3
【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性间的关系进行求解即可．
解：因为函数fx是定义域为-∞,0∪0,+∞的奇函数，
所以f-x=-fx，
故xfx-f-x<0可化为2xfx<0，即xfx<0，
当x>0，fx<0时，由图象可知，0当x<0，fx>0时，根据奇函数图象的对称性可知-3故x的取值范围为-3,0∪0,3．
故答案为：-3,0∪0,3
16.【答案】3；0【解析】【分析】
本题考查含参数的一元二次不等式解法，不等式的性质，属于拔高题．
先求解不等式x2-(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1- a2+1【解答】
解：方程x2-(2a+2)x+2a=0(a>0)的解为x=a+1± a2+1，
则不等式x2-(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1- a2+1因为a>0，所以0< a2+2a+1- a2+1=a+1- a2+1a+1+ a2+1>a+1+1>2，
若不等式x2-(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，
则这两个整数解应为1和2，故两个整数解之和为3．
且a+1+ a2+1⩽3，
得 a2+1⩽2-a，因为a>0，
所以解得0故答案为3;017.【答案】解：(1)由题意得3-x≥0x>0，解得0若a=0，则B=(1,4]，
∴A∩B=(1,3]，A∪B=(0,4];
(2)若命题“∀x∈A，x∈B”是真命题，则A⊆B，
则a>-11-a⩽02a+4⩾3，解得a⩾1，
所以实数a的取值范围为[1,+∞)
【解析】本题考查函数定义域的求解、集合交集和并集的求解、集合之间的关系，属于基础题．
(1)利用根式和分式有意义的条件，可得定义域，即得A，可求交集和并集;
(2)根据“∀x∈A，x∈B”是真命题，可得A⊆B，列不等式求解即可．
18.【答案】解：(1)
lg25+lg2lg50+lg22=2lg5+lg2lg50+lg2
=2lg5+lg2lg100=2lg5+2lg2=2lg5+lg2=2lg10=2．
(2)
∵a+a-1=3，则a+a-12=a-2+a-2+2=9,
∴a2+a-2=7，故a4-a-4a2-a-2=a2+a-2a2-a-2a2-a-2=a2+a-2=7．

【解析】【分析】(1)应用对数的运算性质化简求值；
(2)由指数幂的运算性质求得a2+a-2=7，结合因式分解求目标式的值．
19.【答案】(1)
解：因为fx是定义在-2,2上的奇函数，所以，f-x=-fx在-2,2上恒成立，
即-ax+bx2+4=-ax+bx2+4在-2,2上恒成立，
即-ax+b=-ax-b恒成立，则b=0，所以，fx=axx2+4，
又因为f1=15，即a12+4=15，所以a=1．
故a=1，b=0．
(2)
证明：由(1)可得fx=xx2+4，任取x1、x2∈-2,2，且x10，x1x2<4，
则fx1-fx2=x1x12+4-x2x22+4=x1x22+4-x2x12+4x12+4x22+4
=x1x22-x12x2+4x1-x2x12+4x22+4=x2-x1x1x2-4x12+4x22+4<0，
即fx1
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义可求得b的值，结合f1=15可得出a的值；
(2)任取x1、x2∈-2,2，且x120.【答案】(1)
解：设长为a，宽为b，a,b都为正数，每间虎笼面积为ab，
则4a+6b=48⇒2a+3b=24，
所以24=2a+3b≥2 2a⋅3b，即12≥ 6ab，所以ab≤24，
当2a=3b，即a=6b=4时等号成立．
所以每间虎笼的长为6m，宽为4m时，面积ab的最大值为24m2；
(2)
解：设长为 a，宽为b，a,b都为正数，每间虎笼面积为ab=36，
则钢筋网总长为4a+6b≥2 24ab=2 24×36=24 6，
所以钢筋网总长最小为24 6m，当且仅当4a=6b，即a=3 6b=2 6时，等号成立．
所以当每间虎笼的长为3 6m、宽为2 6m时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为24 6m．

【解析】【分析】(1)求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值．
(2)求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值．
21.【答案】解：(1)
由条件知：a>0，
由①知：ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3，
所以f-1=a-b+c=0f3=9a+3b+c=0,
由②结合对称性可知：f(x)min=f1=a+b+c=-4
联立a-b+c=09a+3b+c=0a+b+c=-4，解得a=1b=-2c=-3．
(2)
因为fx≥mx-2m-3m∈R，
即x2-2x-3≥mx-2m-3m∈R，
化简得x-2x-m≥0，
当m<2时，不等式的解集为-∞,m∪2,+∞；
当m=2时，不等式的解集为R；
当m>2时，不等式的解集为-∞,2∪m,+∞．

【解析】【分析】(1)根据不等式解集和最值列方程组求解可得；
(2)分m<2、m=2、m>2三种情况讨论即可．
22.【答案】解：(1)
当a=2时，f(x)=x2+2x-1=x2+2x-2,x≥1x2-2x+2,x<1,
x≥1时，f(x)=(x+1)2-3，当x=1时f(x)有最小值1，
x<1时，f(x)=(x-1)2+1，此时fx>1，
故f(x)的值域为1,+∞
(2)
由f(x)≤2x-2得：(x-1)2+ax-1+1≤0(*)
当x=1时，(*)显然不成立
当x≠1时，a≤-x-1+1x-1max
又x-1+1x-1≥2 x-1⋅1x-1=2
当且仅当x-1=1x-1即x=0或x=2时等号成立
则-x-1+1x-1≤-2，即-x-1+1x-1max=-2，
所以a的取值范围为-∞,-2．
(3)
由题知y=f(x)=x2+ax-a,x≥1x2-ax+a,0≤x<1,
当a<-2时，-a2>1，a2<-1
当x≥1时，f(x)的最小值为f-a2=-a24-a，
当0≤x<1时，f(0)=a，
-a24-a≤a即a≤-8时，f(x)min=f-a2=-a24-a
-a24-a>a即-8当a≥-2时，-a2≤1，f(x)=x2+ax-a在1,+∞上的最小值为f(1)=1，
当-2≤a≤0时，-1≤a2≤0，f(0)=a<1，所以f(x)min=f(0)=a，
当0当a≥2时，a2≥1，f(1)=1综上可知：
当a≤-8时，f(x)min=f-a2=-a24-a
当-8当0当a≥2时，f(x)min=f(1)=1
【解析】【分析】(1)分段函数分别求值域即可；
(2)分离参数a，结合基本不等式，即可求得a的范围；
(3)对二次函数对称轴的情况分类讨论即可．