2022-2023学年江西省宜春市宜丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市宜丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某中学合唱团的名成员的年龄情况如下表：

则这些队员年龄的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2.  已知等腰的周长为，若设腰长为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，在中，平分交于点，且，在上，为的中点，连接，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线与的交点为整数时，的值可以取(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  某校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占，期中成绩占，平时作业成绩占，某人上述三项成绩分别为分，分，分，则他的数学成绩是______．

8.  如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______．

9.  当光线射到轴进行反射，如果反射的路径经过点和点，则入射光线所在直线的解析式为        ．

10.  设，则代数式的值为______．

11.  如图，已知，于，于，，点是的中点，则的长是______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为，直线与直线交于点点是直线上的一点，点是坐标平面内任意一点若使以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
已知，，且试求正整数．

14.  本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若四边形的周长为，，求的长．

15.  本小题分
如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
城是否受到这次台风的影响？为什么？
若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？

16.  本小题分
某地计划从甲、乙两个蔬菜基地向，两市运送蔬菜．甲、乙两个基地分别可运出吨和吨蔬菜．，两市分别需要蔬菜吨和吨．从甲，乙两基地运往，两市的运费单价如下表：

设从甲基地运往市吨蔬菜时，总运费为元．
求关于的函数表达式及自变量的取值范围；
当甲基地运往市多少吨蔬菜时，总运费最省？最省的总运费是多少元？

17.  本小题分
在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于求证：．

18.  本小题分
观察下列方程及解的特征：
的解为：；
的解为：，；
的解为：，；

解答下列问题：
请猜想，方程的解为______；
请猜想，方程______的解为，；
解关于的分式方程．

19.  本小题分
请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
当时，；
当时，______；
当时，______；
显然，和均为某个一次函数的一部分．
在平面直角坐标系中，作出函数的图象．
根据函数图象写出函数的一条性质：______．
一次函数为常数，的图象过点，若无解，结合函数的图象，直接写出的取值范围．

20.  本小题分
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
 

若三边长分别是，和，则此三角形          常态三角形填“是”或“不是”；

若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为          请按从小到大排列；

如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积．

21.  本小题分
甲、乙两车从市去往市，甲比乙早出发了个小时，甲到达市后停留一段时间返回，乙到达市后立即返回甲车往返的速度都为千米时，乙车往返的速度都为千米时，如图是两车距市的路程千米与行驶时间小时之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
、两市的距离是        千米，甲到市后，        小时乙到达市；
求甲车返回时的路程千米与时间小时之间的函数关系式；
甲车从市开始往回返后，再经过几小时两车相距千米？

22.  本小题分
【模型建立】
如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌；
【模型应用】
如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式；
如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是岁，共人，
所以众数是岁，
名队员中，按照年龄从大到小排列，第名队员的年龄是岁，
所以，中位数是岁．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得．
故选：．
根据已知条件得出底边的长为：，再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的解法．
根据题意得到关于的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
同理可证：≌，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，故正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故正确；
正确的个数是个，
故选：．
由，得出，故正确；再由证得≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得，则正确；最后求出，故正确；即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分交于点，
，
，
，
，
≌，
，
为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
，
交点为整数，
可取的整数解有，，，，，共个．
故选：．
让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
本题考查了两条直线相交或者平行问题，难度一般，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
 

7.【答案】分 

【解析】解：他的数学成绩是：分．
故答案为：分．
根据数学成绩期末考试成绩所占的百分比期中考试成绩所占的百分比平时作业成绩所占的百分比即可求得该学生的数学成绩．
本题考查的是加权平均数的求法．正确计算加权平均数是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
【解答】
解 ：把代入得，，
根据图象可得：关于的不等式的解集为：，
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：设反射光线的直线解析式为，
反射的路径经过点和点，
，
解得，，
反射光线的直线解析式为，
根据入射光线和反射光线轴对称，
故知入射光线的解析式为，
故答案为．
首先设反射光线的直线解析式为，把、两点代入，求出和，然后根据轴对称的知识点求出入射光线的解析式．
本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和轴对称的知识点，解答本题的关键是运用好轴对称的知识，此题难度一般．
 

10.【答案】 

【解析】解：，即，





．
故答案为：
将所求式子提取后，拆项变形，分别得到的因式，将已知等式变形得到，把与的值代入计算，即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，延长到，使连接，
，
，
又点是的中点，
为的中位线，则，
在中，
，
，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
首先作出辅助线，连接，延长到，使，连接根据三角形中位线定理可得，再利用勾股定理求出的长，然后证明可得到≌，从而得到，进而得到答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的综合运用，做题的关键是作出辅助线，证明．
 

12.【答案】或或或 

【解析】解：设直线的函数解析式为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
解得，
即直线的函数解析式为，
点在直线上且在直线上，
点的横坐标为，纵坐标，
线段的长是：，
当时，
的坐标为；
当时，
的坐标为；
当时，
的坐标为；
当在的垂直平分线上时，
直线的函数解析式为，点的坐标为，点的坐标为，，
设直线解析式为且过点，
，
解得，
直线解析式为，
当时，，
即的坐标为；
由上可得，点的坐标为或或或
根据题意，可以先求出直线的函数解析式，然后根据菱形的判定和分类讨论的数学思想，可以求得相应的点的坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图象，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
 

13.【答案】解：化简与得：，，
，，
将代入方程，化简得：，
，
．
，
解得． 

【解析】首先化简与，可得：，，所以，；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．
此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．
 

14.【答案】证明：，
．
直线是对角线的垂直平分线，
，．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：菱形的周长为，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
． 

【解析】

【分析】证≌，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的周长得到菱形的边长，由菱形的性质及得到，在中由勾股定理得到的长，进而得到的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．  

15.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；

设上点，，则还有一点，有
．
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：． 

【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响；
点到直线的长为的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
 

16.【答案】解：


，
由，解得；
答：关于的函数表达式为，自变量的取值范围是；
在中，，
随的增大而增大，
而，
当时，，
答：当甲基地运往市吨蔬菜时，总运费最省，最省的总运费是元． 

【解析】弄清调动方向，再依据路程和运费列出元与吨的函数关系式即可；
利用一次函数的增减性确定“最省的总运费”即可．
本题是一次函数与不等式的综合题，先解不等式确定自变量的取值范围，然后依据一次函数的增减性来确定总运费最省．
 

17.【答案】解：如图，分别取、的中点、，并连接、、、．
根据三角形中位线定理可得：，，，，
，
、分别为直角三角形、斜边的中点，
，，
已知，
≌，
，
，
、为顶角相等的等腰三角形，
． 

【解析】取、的中点，并连接、、、，根据直角三角形斜边中线性质易证得≌，即可得各角的关系．即可证得结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及到直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，是一道难度较大的综合题型，正确作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】，   

【解析】解：方程：，
即方程：，
，，
故答案为：，；
猜想关于的方程的解为：，，
故答案为：；
，
，
，
，
，
可得：或，
解得：，，
经检验，，是原分式方程的根．
观察阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果；
仿照阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果；
先把原方程变形后，利用得出的规律即可解答．
本题考查了解分式方程，分式方程的解，理解阅读材料中的方程解的规律是解题的关键．
 

19.【答案】    函数图象关于轴对称 

【解析】解：时，，
时，，
时，，
时，，
故答案为：，．
如图，

由图象可得，函数图象关于轴对称，
故答案为：函数图象关于轴对称．
当时，如图，当直线与时，方程无解，此时，

当时，满足题意．
如图，当直线经过，时，

将，代入得，
解得，
时满足题意，
综上所述，若无解，且．
当时，，进而求解．当时，，进而求解．
分别画出，时的函数图象．
根据图象求解．
分类讨论与时，函数图象与直线无交点的情况求解．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合求解．
 

20.【答案】解：是 
：： 
中，，，点为的中点，是常态三角形，
当，时，
解得：，
则，
故AC，
则的面积为：．
当，时，
解得：，
则，
故AC，
则的面积为：．
故的面积为或． 

【解析】

【解答】
解：，
三边长分别是，和，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；

是常态三角形，
设两直角边长为：，，斜边长为：，
则，，
则，
故：：，
设，，
则，
此三角形的三边长之比为：：：．
故答案为：：：；

见答案

【分析】
直接利用常态三角形的定义判断即可；
利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，进而求出答案．
此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．  

21.【答案】   

【解析】解：由图可得、两市的距离是，甲到市后，再过小时乙到达市；
故答案为：，；
如右图：
两地的距离是，
，，．
设线段的解析式为，由题意得：
，
解得：，
；
设的解析式为，由题意得：
，
解得：，
的解析式为，
当甲车还未追上乙车时，可得：
，
解得，
小时，
当甲车追上乙车后，可得：
，
解得；
小时，
当甲车返回地后，
，
解得，
小时，
答：甲车从市往回返后再经过小时或小时或小时两车相距千米．
根据路程速度时间的数量关系，用甲车的速度甲车到达乙地的时间就可以求出两地的距离，根据时间路程速度可以求出乙从市去往市需要的时间，从而可得答案；
由的结论可以求出的解析式，由待定系数法就可以求出结论；
运用待定系数法求出的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可．
本题考查了一次函数的应用，读懂题意，正确识图，能求出函数的解析式是解答本题关键．
 

22.【答案】解：如图所示：

，，
，
又，，
，
又，
，
在和中，

≌；
过点作交于点，轴，交轴于点，如图所示：

轴，轴轴，
，
又，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
又直线：与轴交于点，与轴交于点，
令，得，
，即，
令，得，即，
，，
，，
点的坐标为，
设的函数表达式为，
点、两点在直线上，依题意得：
，
解得：，
直线的函数表达式为；
能成为等腰直角三角形，依题意得，
若点为直角顶点时，如图甲所示：

设点的坐标为，则的长为，
，，
，
，
又，
，
在和中，

≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
若点为直角顶点时，如图乙所示：

设点的坐标为，则的长为，
，
同理可证明≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
若点为直角顶点时，如图丙所示：

设点的坐标为，则的长为，
，
同理可证明≌，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
综合所述，点的坐标为或或 

【解析】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．
由垂直的定义得，平角的定义和同角的余角的相等求出，角角边证明≌；
证明≌，求出点的坐标为，由点到直线上构建二元一次方程组求出，，待定系数法求出直线的函数表达式为；
分三种情况讨论：若点为直角顶点时；若点为直角顶点时；若点为直角顶点时，设出点坐标，构建≌，由其性质，得到点坐标，根据点在直线上可求出其坐标．