_江苏省苏州市姑苏区振华中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共20分）

1.    年月日起，北京市全面推行生活垃圾分类．下面图标分别为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    底边上的高为，且底边长为的等腰三角形周长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列说法正确的是(    )

A.  B. 若，则
C. 的平方根是 D. 的算术平方根是

4.    下列说法中正确的有(    )
   如果：：：：，则是直角三角形；
   如果，那么是直角三角形；
   如果三角形三边之比为：：，则是直角三角形；
   如果三边长分别是，，，则是直角三角形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.    某人一天饮水，这个数精确到(    )

A.   B.   C.  D.  

6.    下列说法：；数轴上的点与实数成一一对应关系；是的平方根；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无理数都是无限小数，正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.    三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的(    )

A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点

8.    如图，中，，，点在边上，且若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载。如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内。则图中阴影部分的面积等于(    )
    

A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和

10. 如图，在长方形中，，，动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共16分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. ______．
13. 一个正数的两个平方根为和，则这个数为______．
14. 设，是有理数，且满足，则的值为______．
15. 一个球形容器的容积为立方米，则它的半径______米．球的体积：，其中为球的半径
16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为______ ．

17. 数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为______．
18. 如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点运动过程中，线段长度的最小值是______．

三、解答题（本题共9小题，共64分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 求下列各式中的值：
    ；
    ．
21. 已知实数，满足，求：
    与的值；
    的平方根．
22. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
    直接写出______，______，______；
    判断的形状，并说明理由；
    直接写出边上的高______．

23. 如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接．
    求的长；
    当是直角三角形时，求的长．

24. 我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，．
    如图，利用秦九韶公式求的面积；
    如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离．
     
25. 如图，在中，，点在边上运动，点在边上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
    判断与的位置关系，并说明理由；
    若，，，求线段的长；
    若，，则的最小值为______直接写出结果

26. 在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．
    
    如图，当时，求证：
    若，
    如图，当时，求的值．
    是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，并求的值；若不存在，请说明理由．
27. 如图，中，于，且：：：：，
    试说明是等腰三角形；
    已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点 运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒，
    若的边与平行，求的值；
    若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，中，，于点，，，
，
，
，
，
该等腰三角形的周长为，
故选：．
作，使，于点，，，则，，即可根据勾股定理求得，再求出该三角形的周长．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”性质、勾股定理、三角形的周长等知识，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据立方根的定义，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据平方根的定义，若，则，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据平方根的定义，，那么的平方根是，即C错误，故C不符合题意．
D.根据算术平方根的定义，的算术平方根是，那么D正确，故D符合题意．
故选：．
根据立方根、平方根、算术平方根的定义解决此题．
本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不正确，因为根据三角形的内角和得不到的角；
正确，由三角形内角和定理可求出为度；
正确，设三边分别为，，，则有；
正确，因为所以正确的有三个，
故选：．
根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为来判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：一天饮水中的精确到 、
故选：．
根据近似数的精确度求解．
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故此选项错误；
数轴上的点与实数成一一对应关系，正确；
是的平方根，正确；
任何实数不是有理数就是无理数，正确；
两个无理数的和不一定还是无理数，故此选项错误；
无理数都是无限小数，正确，
故选：．
直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，正确掌握相关性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：．
根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
是的中点，
，，
在中，，
，
，
，
故选：．
过点作，可得是的中点，再在中，求出，则可得即可求．
本题考查等腰三角形与直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形与含有角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可。
【解答】
解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
阴影部分的面积，
较小两个正方形重叠部分的宽，长，
则较小两个正方形重叠部分底面积，
则图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积。
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
，关于直线对称，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离．
在中，，，
，
即的最小值为．
故选：．
首先证明动点在与平行且与的距离是的直线上，由，关于直线对称，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离．
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：



，
故答案为：．
利用二次根式的性质进行乘除运算．
本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则和分母有理化．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故答案为：．
由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出．
本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
由等号左右两边可得和的值，然后代入求值即可．
本题考查了根式的求值，根据式子相等的条件求得和的值是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
解得；
故答案为：．
根据公式列等式，开立方求出．
本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质，根据球体的体积公式列出等式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
连接，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
．
故答案为：．
根据等边对等角的性质可得，再根据三角形内角和定理求出，连接，，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据轴对称性可得，从而得到，然后利用角所对的直角边等于斜边的一半求出长，同理可得出的长，根据即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

17.【答案】． 

【解析】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
若点在点的左侧，则点表示的数为：；
若点在点的右侧，则点表示的数为：；
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，从而得到的长，分两种情况分别写出点表示的数即可．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，注意以为圆心，长为半径画弧，交数轴两个点．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，

线段绕点逆时针旋转得到，
，
又是等边三角形，
，
即，
，
是等边三角形的高，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
≌，
，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
，
，
．
线段长度的最小值是．
故答案为：．
取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明≌，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先算绝对值，二次根式的乘法，再算加减即可；
先算除法，再算乘法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
． 

【解析】用直接开平方法解方程；
根据立方根的定义解决．
本题考查了平方根、立方根，掌握这两个定义的熟练应用，把、看作一个整体是解题关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，，
，
；



，
的平方根为，
的平方根为． 

【解析】根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，进而可以得到的值；
求出代数式的值，再求平方根即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，，，
故答案为：，，；
是直角三角形，
理由：，，
，
是直角三角形；
设边上的高为，
的面积，
，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理，进行计算即可解答；
利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
在中，，
；
，，
，
是直角三角形需分两种情况分析：
当时，，
在中，，
，
当时，，即，
解得：，
，
；
综上所述，的长为或． 

【解析】根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可．
根据是直角三角形需分两种情况分析：当时；当时，进而解答即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
．
连接，作于点，

点为的角平分线交点，
点到，，的距离相等，长度为，
设，则


，
解得．
点到的距离为． 

【解析】由秦九韶公式可得的值，再由求解．
连接，作于点，由角平分线的性质可得点到三角形三边的距离相等，通过求解．
本题考查角平分线的性质，解题关键是理解题意，通过题干中秦九韶公式及通过添加辅助线求解．
 

25.【答案】解：结论：，
理由：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图，连接，设，则，，

，，
，，
，
，
，
解得：，
则；
 

【解析】见答案；

解：如中图，连接取的中点，连接，，







在中，，，，
，
，，
，
，，
，
当时，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论；
连接取的中点，连接，，证明，求出的最小值，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】证明：，，
，，
，
由翻折可知，，
，
；
，，
，，
，，
，
，
，
由翻折可知，，
；
，
，
，
，
，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
，
不合题意，故舍去，
当，，
解得，，
综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或． 

【解析】根据折叠的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质计算即可；
分、、三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于、翻转变换的性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：设，，，
则，
在中，，
，
，
是等腰三角形；
解：，而，
，
则，，，．
当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为或．
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点做垂直于，

，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为或或． 

【解析】设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
由的面积求出、、、；当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．