2021-2022学年江苏省苏州市工业区园区东沙湖实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市工业区园区东沙湖实验中学八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 垃圾分类人人有责，下列垃圾分类标识是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查中，适合采用普查的是(    )

A. 全班学生周六晚上收看“新闻联播”的次数
B. 某品牌灯泡的使用寿命
C. 长江中现有鱼的种类
D. 公民垃圾分类的意识

3. 当时，下列分式无意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是(    )

A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件
C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大

7. 下列说法正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

8. 如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在▱中，，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，直线分别与、相交于点、，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 若分式的值为，则______．
12. 在一个不透明的袋子中装有个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么的值是______．
13. 顺次连接矩形各边中点，形成的四边形是______ ．
14. 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是______ ．
15. 直线与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

16. 如图，长方形中，为的中点，将沿直线折叠时点落在点处，连接，若，则______度．

17. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点取的中点，连接，则长的最大值为______ ．

18. 如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为的等腰三角形已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

19. 解方程：．
20. 先化简，再求值：，其中

四、解答题（本大题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    某区对名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图表．
    初中毕业生视力抽样调查频数分布表

本次调查的样本容量为______ ；
将频数分布表和频数分布直方图补充完整；
若视力在以上含均属标准视力，根据上述信息估计全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有多少人？

22. 本小题分
    如图，矩形的对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

23. 本小题分
    在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
    在图中画出与成中心对称的，对称中心是点；
    在图中找一格点，使得以，，，为顶点的四边形是中心对称图形．

24. 本小题分
    甲乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工件，乙加工服装件所用时间与甲加工服装件所用时间相同．
    求甲每天加工服装多少件？
    甲乙两人新接了件服装加工订单，受供货时间限制，二人都提高了工作效率，设甲提高后每天能加工件，乙提高后每天加工的件数是甲的倍，这样两人工作天恰好能完成任务，求的最大值．
25. 本小题分
    如图，的边在轴上，且反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接已知，的面积为．
    求的值；
    若，求直线的函数表达式．

26. 本小题分
    【理解概念】
    一组邻边相等，且这组邻边所夹内角的对角被对角线平分的四边形叫做等平四边形，这条对角线叫做等平对角线．
    下列四边形是等平四边形的是______ 填序号
    平行四边形；菱形；矩形；正方形．
    【探索性质】
    如图，在等平四边形中，，平分若，则与有怎样的数量关系？说明理由．
    
    【解决问题】
    如图，四边形中，，求证：四边形是等平四边形．
27. 本小题分
    在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．
    如图，当时，连接、，并延长交于点，则______；
    当时，请画出图形并求出的长；
    在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、调查全班学生周六晚上收看“新闻联播”的次数，适合普查，故本选项符合题意；
B、调查某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、调查公民垃圾分类的意识，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：、当时，分式有意义，不符合题意；
，当时，分式有意义，不符合题意；
C、当时，，分式无意义，符合题意；
D、当时，，分式有意义，不符合题意；
故选：．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
依据，可得，即可得出．
本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
 

5.【答案】 

【解析】解：把点，，代入反比例函数的关系式得，
，，，
，
故选：．
把点，，代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B.摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C.根据不透明的盒子中装有个红球和个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故C选项错误；
D.根据不透明的盒子中装有个红球和个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；
故选：．
利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：．
利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

9.【答案】 

【解析】解：这批椽的价钱为文，这批椽有株，
一株椽的价钱为文，
又每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
．
故选：．
利用单价总价数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
连接交于点，过点作于，连接，如图，则，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
在中，，
，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
由作法得垂直平分，连接交于点，过点作于，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行四边形的性质得到，，，所以，接着分别计算出，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解得，再计算出，，然后证明≌得到，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段也考查了平行四边形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
．
故答案为：．
直接利用分式的值为零则分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
经检验：是分式方程的解，
所以口袋中小球共有个．
故答案为：．
根据概率公式得到，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】菱形 

【解析】解：连接、，
四边形为矩形，
，
，，
是的中位线，
，
同理，，，，
，
四边形为菱形，
故答案为：菱形．
连接、，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形中位线定理的应用，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，可知，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是知道：当反比例函数图象位于第一、第三象限时，．
 

15.【答案】或 

【解析】解：直线与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是和，
关于的不等式的解集是或，
故答案为：或．
先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，用了数形结合思想．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出的度数是解题的关键．
由折叠的性质得：，，，求出，由直角三角形的性质得出，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数．
【解答】
解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
；
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，如图：

是由绕点旋转得到，
，，，
设，则，
在四边形中，，
在中，，，，
，
中，，
是中位线，
，
而，
当、、在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：．
设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点，连接、，则

，，继而可得，即可得到答案．
本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，
设小正方形的边长为，
则大正方形的边长为，
瓷砖的面积是，
大正方形的边长为，
即，
解得，
中间小正方形的面积为，
故答案为：．
作大正方形的对角线，作一条小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，由图形可知，小正方形的边长加对角线的长度刚好等于大正方形的边长，列方程求解小正方形边长即可求解．
本题主要考查正方形和等腰三角形的性质，根据题意得出小正方形边长和大正方形边长之间的关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：方程两边同乘，得，
化简，得，
解得 ，
检验：当时，，
是原分式方程的解． 

【解析】找出分式方程的最简公分母为，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，代入检验即可得到原分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：，人，
故答案为：；
人，
，
补全的频数分布表，频数分布直方图如下：


人，
答：全区名初中毕业生中达到标准视力的学生约有人．
根据频数、频率、样本容量之间的关系，视力再的频数人，占样本容量的，可求出样本容量；
求出““的频数，即可补全频数分布表和频率分布直方图；
求出样本中视力在以上含的人数所占的百分比即可估计总体中视力在以上含的人数．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率是正确计算的前提．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
，，
，
，
菱形的面积． 

【解析】先由已知条件证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，由菱形的判定方法即可得出结论；
先求出，即可求解．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：如图，为所作；
如图，四边形为所作．
 

【解析】作点和点关于点的对称点得到、；
把点向上平移个单位得到点，则四边形为平行四边形．
本他考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

24.【答案】解：设甲每天加工服装件，则乙每天加工服装件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲每天加工服装件．
依题意，得：，
．
，，
随值的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：的最大值为． 

【解析】设甲每天加工服装件，则乙每天加工服装件，根据工作时间工作总量工作效率结合乙加工服装件所用时间与甲加工服装件所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
根据工作总量工作效率工作时间，即可得出关于的函数关系式，再利用反比例函数的性质即可求出的最大值．
本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】解：如图，过作于，
，的面积为．
，，
即，
又，
；
，
，
又为的中点，
为的中点，
的面积为．
设，则点，
，
，
，
即，
设的表达式为，则
，即，
直线的函数表达式为 

【解析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
过作于，依据，即可得到；
设，则点，，依据的面积为，可得，即可得出，进而得到直线的函数表达式为
 

26.【答案】 

【解析】解：菱形和正方形都具有四边相等，对角线平分每一组对角的性质，
菱形和正方形都是等平四边形，
故答案为：；
理由如下：
如图，过点作于，作交的延长线于，
平分，，
，
，，
≌，
，
，
；
如图，过点作于，作交的延长线于，
则，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
平分，
，
四边形是等平四边形．
根据”等平四边形“的定义，结合菱形和正方形的性质即可判断菱形和正方形都是等平四边形；
过点作于，作交的延长线于，可证得≌，即可得出答案；
过点作于，作交的延长线于，可证得≌，再运用角平分线的判定定理即可证得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形、矩形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质、角平分线性质和判定，理解并运用新定义是解题关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针方向旋转得到，
，．
是等边三角形，
．
绕点顺时针方向旋转得到，
，．
又，
．
点、在的中垂线上．
是的中垂线．
点在的延长线上，
，；
，
，
，
在等边三角形中，，
，
故答案为：；

依据题意画图如图，

过点作于点，过点作于点，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
围绕点顺时针方向旋转得到，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
则；

如图所示，

，，
，
又，
，
，
，
，
，且，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
证明是等边三角形，得到点、在的中垂线上．进而求解；
依据题意画图如图，证明≌，得到，，即可求解；
证明，，则四边形为平行四边形，而，则四边形为菱形．
本题是二次函数综合题，主要考查了平行四边形和菱形的性质、图形的旋转、三角形全等等，综合性强，难度较大．