专题06 平面直角坐标系（4大考点）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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第三部分 函数
专题06 平面直角坐标系（4大考点）
核心考点
核心考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征
核心考点二 函数及其自变量的取值范围
核心考点三 实际问题中分析、判断函数图象
核心考点四 几何问题中分析、判断函数图象
新题速递

核心考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征

例1 （2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：

∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴，
在Rt△BCD中，，
在Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得：或（舍去），
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
例2 （2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____．

【答案】（210，﹣210）
【分析】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得点A1的坐标为（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得点A2的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐标，即可找到规律，据此即可求得．
【详解】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
∵20＝4×4+4，
∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）．
故答案为：（210，﹣210）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．
例3 （2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．

(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图1是W，图2是X

【分析】（1）根据要求直接平移即可；
（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；
（3）观察图形可得结论．
（1）
解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得，，，

（2）
解：如图所示，

（3）
解：图1是W，图2是X．
【点睛】本题考查了对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．


知识点：平面直角坐标系中点的坐标特征
1、 各象限内点的坐标特征
点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、 坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上 纵坐标为0，即
点P(x,y)在y轴上 横坐标为0，即
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 原点（0，0）
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 横纵坐标相等，即（）
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 横纵坐标互为相反数，即（）
注意：坐标轴上的点不属于任何象限。
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的 纵坐标 相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的 横坐标 相同。
7、点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(a,b)到x轴的距离等于
（2）点P(a,b)到y轴的距离等于
（3）点P(a,b)到原点的距离等于
8、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P（a，b）与关于x轴对称点的坐标为 （a，-b）
点P（a，b）与关于y轴对称点的坐标为 （-a，b）
点P（a，b）与关于原点对称点的坐标为 （-a，-b）
口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
9、点的平移
点P（a，b）沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是；
点P（a，b）沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是.
口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.
10、两点间的距离：
在x轴或平行于x轴的直线上的两点(,)，(,)间的距离为
在y轴或平行于y轴的直线上的两点(,)，(,)间的距离为
任意两点(,)，(,)，则线段的中点坐标为
任意两点(,)，(,)，则线段




【变式1】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，，两点的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在x轴的上方作等腰直角，，，以F为圆心，为半径作圆O交y轴于M，利用圆周角定理得出点C即为点M，再由等腰三角形的性质及坐标与图形得出，根据余弦函数确定，最后由点的坐标及勾股定理求解即可．
【详解】解：在x轴的上方作等腰直角，，，以F为圆心，为半径作圆O交y轴于M，

∵，
∴点C即为点M，
∵，，是等腰直角三角形，
∴，
∴点F的纵坐标为，横坐标为，
∴，
∴，
设，
则，
解得或（舍弃），
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022·天津红桥·统考三模）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点，点，则点C的坐标为（    ）．

A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，证明△AOB≌△BEC，得到BE=AO，EC=OB，计算OE的长即可．
【详解】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（3，0），
∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，
∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=2，EC=OB=3，
∴OE=OB+BE=2+3=5，
∴点C（5，3），
故选：D．

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键．
【变式3】（2022·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到△（点，，的对应点分别是，，，再绕顺时针方向旋转得到△，则的坐标是___．

【答案】
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【详解】解：如图，观察图象可知．

故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
【变式4】（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是_______________．

【答案】
【分析】每6个点的纵坐标规律：，0， ，0，，0，点的横坐标规律：，1，，2，   ，3，…，，即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于，则，而，

∴，，
∴每6秒的纵坐标规律：，0， ，0，，0，
∵余1，
∴点的纵坐标为，
由题意可知动点P每秒的横坐标规律：，1，，2，   ，3，…，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标，
故答案为．
【点睛】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．


【变式5】（2022·浙江舟山·校联考三模）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，平行四边形的顶点坐标分别为，，．解答下列问题：

(1)点B坐标为　　；
(2)仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，
①将线段绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段；
②在线段上画点E，使．（保留画图过程的痕迹）
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析

【分析】（1）利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；
（2）①利用网格特点和旋转的性质，画出B点的对应点D即可；
②连接，则，，再取格点G、F，连接交于P，则P点为的中点，所以平分，延长交于E点，则E点满足条件．
【详解】（1）解：（1）点B的坐标为,
故答案为：
（2）解：①如图，CD为所作；
②如图，E点为所作．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换、平行四边形性质、等腰三角形判定与性质、矩形的性质、三线合一等知识，熟练掌握图形的旋转特征是解题关键．


核心考点二 函数及其自变量的取值范围

例1 （2022·湖北黄石·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
例2 （2021·四川巴中·统考中考真题）函数y中自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≤2且x≠−3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
例3 （2020·重庆·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
    
a
-2
-4
b
-4
-2
    
    
⋯

（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b=　　　　 ．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．
【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
（3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的x的范围即可．
【详解】（1）当时，；当时，；
∴，，
故答案为：，．
所画图象，如图所示．

（2）①观察图象可知函数的图象关于y轴对称，故该说法正确；
②观察图象可知，当x=0时，函数有最小值，最小值为，故该说法正确；
③观察图象可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错误．
（3）不等式表现在图象上面即函数的图象比函数的图象低，因此观察图象，即可得到的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．




知识点：函数
1、常量和变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 ．
【注意】
①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．例如，在s=t中，当s一定时，v、t为变量，s为常量；当t一定时，s、v为变量，而t为常量．
②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．
③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．
④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．
2、函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量．
②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．
④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
3、函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：
①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；
②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
函数解析式形式
自变量取值范围

注：在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题具有实际意义
含有分式，如

含有二次根式，如

含有零次幂或负整数次幂，如或

含有分式与二次根式






含以上两种或两种以上形式
分别求出它们的取值范围，再取公共部分
4、函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
①函数解析式是等式．
②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．
③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．
④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．




【变式1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）下列说法正确的个数是（    ）
①对角线相等的四边形是矩形
②在函数中，自变量x的取值范围是
③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形
④若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
⑤的算术平方根是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根解答即可．
【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；
②在函数中，自变量x的取值范围是且x，原说法错误；
③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确；
④若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，说法正确；
⑤，4的算术平方根是2，原说法错误；
综上，正确的有③④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【变式2】（2021·河南周口·统考二模）已知函数，其中表示时的函数值，则的值为（    ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4041
【答案】D
【分析】根据题意可得：，利用这种规律即可求解．
【详解】解：有题意可得：，



故选：D．
【点睛】本题考查函数值求和问题，解题的关键是：通过题意找到多项函数值中两项之和为常数，然后两两分为一组求和．
【变式3】（2022·广东佛山·校考三模）已知，且满足表示不超过的最大整数），则的值可以为 __．
【答案】36或37
【分析】首先理解表示的含义，再结合得出中有多少个，多少个，然后求出的取值范围，即可求解；
【详解】，，
，，，等于0或1，
，
其中有18个1，
，，
，，
，
，
的值可以是36或37，
故答案为：36或37．
【点睛】本题主要考查取整函数的知识点，能够准确理解题意，得出一定的规律是解题的关键．


【变式4】（2022·江苏徐州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据分母不为零和二次根式的非负性计算即可；
【详解】根据题意可得：且，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．


【变式5】（2021·甘肃·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数y＝2﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
0
0.83
1.46

2.47
2.90
3.29
3.66
4.00
…

(1)函数 y＝2﹣2中自变量x的取值范围是 　　；当x＝1时，y＝　　；
(2)在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值（x，y）画出该函数的图象；
(3)观察画出的图象，写出该函数的一条性质：　　．
【答案】(1)x≥-3；2
(2)图象见解析
(3)当x≥-3时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．

【分析】（1）根据二次根式的非负性可知x取值范围；把 x＝1代入函数解析式可得结论；
（2）根据描点，连线，可得函数图象；
（3）根据图象得出一条性质，合理即可，一般从增减性，对称性入手．
（1）
解：由解析式y＝2﹣2，根据二次根式的双重非负性可知：x+3≥0，
∴x≥-3，
将x=1带入解析式y＝2﹣2得：y＝2﹣2=2，
故答案为：x≥-3；2
（2）
表中数值（x，y）先描出各点，再顺次连接可得出该函数图像，如图所示：

（3）
有图象可知，当x≥-3时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，熟练掌握描点作图，由图象得出函数图象性质是解题的关键．


核心考点三 实际问题中分析、判断函数图象

例1 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（    ）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
【答案】D
【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：，故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），
（小时），即A点表示，
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，解得，
货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：，故选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．
例2 （2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家
②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了
④王强骑自行车的平均速度是

【答案】①③④
【分析】利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：体育场离张强家，①正确；
王强在体育场锻炼了，②错误；
王强吃早餐用了，③正确；
王强骑自行车的平均速度是，④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
例3 （2022·江苏南通·统考中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示．

(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2)，
(3)80

【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知：过，，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，
∴，解得：，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；
（3）解：甲的利润为：，
乙的利润为：
∴当时，
甲乙的利润和为：，解得（舍去）；
当时，
甲乙的利润和为：，解得；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息．


知识点、函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．
②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．
③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

实际问题中分析、判断函数的图象，关键在于要结合函数图象点的实际含义来理解；


【变式1】（2021·江苏宿迁·一模）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了1.6h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】解：当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①正确；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即慢车到达目的地；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，即a=340，故③正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
【变式2】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）小开家、加油站和湿地公园依次在同一直线上，端午节期间，小开一家从家出发开车前往湿地公园游玩，经过加油站时，加满油后继续驶往目的地，汽车行驶路程y（千米）与汽车行驶时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（      ）

A．汽车经过30分钟到达加油站 B．汽车加油时长为10分钟
C．汽车加油后的速度比加油前快 D．小开家距离湿地公园45千米
【答案】C
【分析】观察图象，从图象中获取对应时间的路程和时间，再依次进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，汽车经过30分钟到达加油站，故A正确；
由图象可知，汽车加油时长为40-30=10分钟，故B正确；
由图象可知，汽车加油后的速度为：（45-25）÷（80-40）=0.5千米/分，加油前速度为：25÷30=千米/分，汽车加油前的速度比加油后快，故C错误；
由图象可知，小开家距离湿地公园45千米，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象的行程问题，能从图象中获取所需信息是解决问题的关键．
【变式3】（2022·山东济南·统考二模）如图，已知、两地相距4千米，甲从地出发步行到地，20分钟后乙从地出发骑自行车到地，甲乙两人离地的距离（千米）与甲所用时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为 _____．

【答案】20分钟
【分析】根据函数图像，用待定系数法求出甲离地的距离与所用的时间的函数关系式，从而求出甲离地的距离与所用时间的函数图像与乙离地的距离与所用时间的函数图像交点坐标，根据待定系数法求出乙离地的距离与所用时间的函数关系式，把代入，即可求出乙从地到达地所用的时间，从而得到答案．
【详解】解：设甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
把代入得：，
解得：，
∴甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
当时，得：，
解得：，
即甲离地的距离与所用时间的函数图像与乙离地的距离与所用时间的函数图像交点为，
设乙离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
把和代入得：
，
解得：，
即乙离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
当时，得：
，
解得：，
即乙从地到达地所用的时间为：（分钟）．
故答案为：20分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握用待定系数法求一次函数解析式并正确分析图像是解答本题的关键．


【变式4】（2022·浙江衢州·统考二模）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图，则点B点的坐标为______．

【答案】（5.8，348）##(,348)
【分析】由图像信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据图像和快、慢车的速度，可知快车修好比慢车先到达终点，B 点是快车到达终点时所用时间，即可得答案．
【详解】解：由图像可知：慢车的速度为：60÷(4-3)=60( km / h )，
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3=180( km )，
∴快车的速度为：(480-180)÷3=300÷3=100( km / h )，
通过图像和快、慢车的速度，可知快车比慢车先到达终点， B 点是快车到达终点时所用时间，
∵快车到达终点时所用时间为：480÷100+1=5.8( h )，
5.8×60=348( km )，
∴B 点的坐标为(5.8，348)，
故答案为：（5.8，348）．
【点睛】本题考查了从函数图像中获取信息和行程问题，解题的关键是从函数图像中获取有用的信息．


【变式5】（2021·贵州遵义·校考模拟预测）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时．
(2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求货车出发多长时间两车相距90千米．
【答案】(1)；
(2)
(3)货车出发小时或小时后两车相距千米．

【分析】（1）观察函数图象可知货车的速度是千米/小时，进而求出轿车的速度即可；
（2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）设货车出发小时后两车相距千米，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；
故答案为：；；
（2）解：由题意可知：，，，
设直线的解析式为，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）解：设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．



核心考点四 几何问题中分析、判断函数图象

例1 （2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
例2 （2022·山东烟台·统考中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．

【答案】
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．
【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，

∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
例3 （2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0

请你通过计算，补全表格：______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
(4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
【答案】(1)3.2
(2)答案见解析
(3)y随x的增大而减小
(4)1.67

【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图像；
（3）根据图像直接得出结论；
（4）利用表格和图像估算出AM的长度．
（1）
解：如图，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，
过点C作CM'⊥AB于M，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，
∴CM'＝，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝，
当a＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
（2）
解：如图所示，

（3）
解：由图像知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
（4）
解：如图，直线OD的解析式为，

借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键．


知识点、判断分析函数图象的突破点
①明确“两轴”所表示的意义
②明确图象上的点所表示的意义
③弄清图象上的转折点，最高（低）点所表示的意义
④弄清上升线和下降线所表示的意义




【变式1】（2022·河南南阳·模拟预测）如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，，则，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由图可知，，，
则，
由，可得是直角三角形，
由勾股定理可得 ，
即，
解得，即，
所以，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图像以及勾股定理等知识，解决本题的关键是读懂函数图像，获得所需信息．
【变式2】（2022·河南洛阳·统考一模）如图1，矩形中，点E是边的中点，点F在边上，且，动点P从点F出发，以每秒的速度沿的方向运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，的面积为，如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，b的值分别是（　　）

A．16，2 B．15， C．13， D．13，3
【答案】C
【详解】由图可知，当点P从点F到点B时，用了4秒，所以 ，
，
，
，
又因为当点P从点B到点C时，用了3秒，
，
∴，
点E是边的中点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，掌握三角形的高与面积的关系是解题关键．
【变式3】（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图（1），在▱中，，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为（当，，三点共线时，不妨设），与之间的函数关系的图像如图（2）所示，则图（2）中的值为________．

【答案】14
【分析】过点作，交的延长于点，根据三角形的性质，得，观察图与图可得当点运动到点时，，当点运动到点时，，设，则，，根据三角形的面积公式列出方程，解得的值，即可求出的值．
【详解】解：如图所示，过点作，交的延长于点．

，
，
，
由图和图知，当点运动到点时，，
当点运动到点时，，
设，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
，，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，动点问题的函数图像，三角形的面积与直角三角形的性质，解一元二次方程，读懂函数图像解答该题的关键


【变式4】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图1，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，将点运动的路程记为，的长记为，若与的对应函数关系如图2所示，点是函数图象的最低点，则的值是______．

【答案】
【分析】根据函数图像分可得当时，点与点重合，此时，当时发生转折，此时点和点重合，即，当时，点与点重合，此时.在中，由勾股定理可知，，根据时最小，可得，等面积法求得，在中，由勾股定理可得，进而求得，计算即可求解．
【详解】解：由图2可知，当时，点与点重合，此时，
当时发生转折，此时点和点重合，即，
当时，点与点重合，此时.
在中，由勾股定理可知，，
∴，
∴.
∵时最小，
此时，
∴，
得，
在中，由勾股定理可得，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．


【变式5】（2021·四川乐山·统考三模）小米在学习过程中遇到一个函数y＝下面是小米对其探究的过程，请补充完整：

(1)当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 　 　，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 　 　，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对函数y＝，y随x的增大而 　 　．
(2)当x≥0时，对于函数y＝，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0

1

2

3
…
y
0



1


…

结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大，在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时函数y＝的图象
(3)过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2），解决问题：若直线l与函数函数y＝的图象有两个交点，则m的最大值为______．
【答案】(1)减小，减小，减小．
(2)见解析
(3)

【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大．
（1）
解：当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；
对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
（2）
函数图象如图所示：

（3）
解：由（2）可知，当x0时，y0，且y随x的增大而增大，无最大值；由（1）可知，当﹣2x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值，此时y＝2×（4+2+1），
∴当m＞时，直线l与函数y＝的图像只有一个交点，
∵直线l与函数y|x|（x2﹣x+1）（x﹣2）的图象有两个交点，
可知当x＝﹣2时，m的值最大，最大值m2×（4+2+1），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．



【新题速递】
1．（2022春·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（　　）

A．1 B．0 C． D．-2
【答案】C
【分析】根据题意和图形，可以求得的长，得到点P纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，然后即可得到在第2023秒时点P的纵坐标，本题得以解决．
【详解】解：

的长为：，
（秒），
如图，作于E，与交于点D．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P纵坐标为1；
第2秒时点P纵坐标为0；
第3秒时点P纵坐标为；
第4秒时点P纵坐标为0；
第5秒时点P纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，
故在第2023秒时点P的纵坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环．
2．（2021春·陕西商洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ）

A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可．
【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的，
则所有符合条件的三角形个数为7．
故选：D．

【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键．
3．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第一象限内作等边，直线与轴交于点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“手拉手”的模型是全等三角形，根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据含30°角的直角三角形的性质，结合勾股定理即可求解点坐标．
【详解】解：，为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，即点坐标为：，
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形中的“手拉手”模型、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，求出的度数是解题关键．
4．（2022秋·北京顺义·八年级阶段练习）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了；
②快车速度比慢车速度多；
③图中；
④慢车先到达目的地．
其中正确的是（    ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】A
【分析】根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当时，表示两车相遇，
表示两车都在休息，没有前进，时，其中一车行驶，其速度为，
设另一车的速度为,
依题意得
解得,
故快车途中停留了，①正确；
快车速度比慢车速度多，②错误；
时，慢车行驶的路程为，即得到目的地，比快车先到，故④正确；
时，快车行驶的路程为，
即，故③错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
5．（2022春·安徽合肥·九年级校考期中）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为已知与的函数关系图象如图曲线为抛物线的一部分则下列结论错误的（    ）

A．
B．
C．当时，
D．当秒时，
【答案】B
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从秒到秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【详解】解：根据图（1）可得，当点到达点时，点到达点，

点、的运动的速度都是秒，
，
，故A正确，不符合题意；
根据图（2）得，从到的变化是秒，
，
，
在中，，
，故B错误，符合题意；
如图（1）过点作于点，
，

，
，
，
当时，，故C正确，不符合题意；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定，解直角三角形，根据图（2）判断出点到达点时，点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．
6．（2022春·江苏徐州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，矩形的顶点分别在轴，轴上，对角线轴，已知，.现将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则的值为（       ）

A． B．8 C．9 D．
【答案】A
【分析】作轴于E，连接，交于点，则是的中点，根据矩形的中心对称性可知当经过点P时，平移后的直线恰好平分矩形的面积，求出点N的坐标和平移后的直线解析式，再求出平移后的直线解析式与y轴的交点纵坐标，从而得到m的值．
【详解】解：作轴于，连接，交于点，则是的中点，
∵对角线轴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设平移后的直线为，
∵当经过点时，平移后的直线恰好平分矩形的面积，
∴，
解得，
∴平移后的直线为，
当时，，
∴，
∴的值为，
故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，明确直线经过矩形对角线的交点时平分矩形的面积是解题的关键．
7．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，的顶点，顶点A，B分别在第一、四象限，且轴，若，则点A的坐标是_______．

【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点A的坐标即可．
【详解】解：设与x轴交于点C，
∵，
∴
∴
∴点A的坐标是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质等知识点，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
8．（2022春·天津和平·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且，，则点A的坐标为___．

【答案】
【分析】如图，过作轴的平行线，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为D，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为E，证明，可得，，设，可得，再解方程即可．
【详解】解：如图，过作轴的平行线，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为D，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为E，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，设，
∴，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的解法，熟练的构造全等三角形是解本题的关键．
9．（2022春·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使是以为腰的等腰三角形，则点P的坐标为___________．

【答案】，，，
【分析】设，根据勾股定理求出m的值，得到点，设点P坐标为，根据勾股定理列出方程，即可得到答案．
【详解】∵对角线的垂直平分线交于点E，
∴，
∵，
，
∴，
，
∴设，则，，
∴在中，，即：，
解得： ，
∴，
设点坐标为，
∵是以为为腰的等腰三角形，
当，则，解得： ，
当，则 ，解得： ，
∴点的坐标为，，，，
故答案是：，，，．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．
10．（2021春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法：①点表示此时快车到达乙地；②段表示慢车先加速后减速最后到达甲地；③快车的速度为；④慢车的速度为，其中正确的是________．（填正确结论的序号）

【答案】③
【分析】①根据B点的纵坐标的意义回答问题；②段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地、慢车继续行驶；③快车的速度；④慢车的速度．
【详解】解：①点表示快车与慢车出发4小时两车相遇，故本说法错误；
②段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地、慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地，故本说法错误；
③快车的速度，故本说法正确；
④慢车的速度，故本说法错误；
故答案为：③
【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解题关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解两车的移动过程．
11．（2022春·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知动点以2cm/s的速度沿图1所示的边框从的路径运动，记的面积为（cm2）与运动时间（s）的关系如图2所示，已知cm，回答下列问题∶（1）当时， = ___cm²；
（2）=_______ s  

【答案】     18     13
【分析】（1）先根据图形中所得的移动时间，计算的长，进而可得的值；
（2）根据图形中所得的移动时间，计算的长，再根据的长求得相应的时间，再根据为点走完全程的时间，求得的值．
【详解】解：（1）由图得，点在上移动了s，
故（cm），
所以当时，点与点重合，
所以（cm2）；
故答案为：18；
（2）由图得，点在上移动了2s，
故（cm），
点在上移动了2s，
故（cm），
由cm可得，点在上移动了1（s），
由cm可得，点在上移动了5（s），
为点走完全程的时间：（s）．
故．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算．
12．（2022春·山东临沂·九年级校考阶段练习）与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：，，所以是偶函数，而，，所以是奇函数．若是偶函数，则实数______．
【答案】5
【分析】由是偶函数，可得，解得．
【详解】解：∵是偶函数，
根据偶函数的定义，对于自变量取值范围内的任意一个，都有，
∴，
整理，得，
可知，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了新定义：偶函数和奇函数，解题关键是正确理解题意并列式求解．
13．（2021春·陕西榆林·八年级统考期中）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：

(1)朱老师的速度为______米/秒；
(2)求段与之间的函数关系式；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离．
【答案】(1)2
(2)段与之间的关系式为
(3)当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米

【分析】（1）根据速度=路程÷时间，即可算出朱老师的速度；
（2）把B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）设段与之间的关系式为，先求解解析式，再利用函数的交点坐标的含义即可解答．
【详解】（1）解：朱老师的速度（米/秒），
故答案为：2；
（2）设段与之间的关系式为，
把代入得：，
解得，
即段与之间的关系式为．
（3）设段与之间的关系式为．
∴，
解得，
所以段与之间的关系式为．
令，解得，
∴（米），
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，利用待定系数法求解函数解析式，函数交点坐标的含义，解题的关键是从图中获取信息，通过数形结合来求解．
14．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图所示，，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，点C的坐标为，且．

(1)直接写出点C的坐标 ；
(2)直接写出点E的坐标 ；
(3)点P是直线上一动点，设，，，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)①当点P在线段EC上时：；②当点P在线段的延长线上时：；③当点P在线段的延长线上时：

【分析】（1）直接利用算术平方根的性质得出a，b的值，即可得出答案；
（2）利用平移的性质得出点E的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段上时：如图，过点P作， ②当点P在线段的延长线上时，如图，过点P作， ③当点P在线段的延长线上时，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】（1）解：∵
∴，，解得： ，，
∵点C的坐标为，
∴点C的坐标为：；
（2）∵点B在y轴上，点C的坐标为：，
∴B点向左平移了3个单位长度，
∴，向左平移3个单位得到：，
∴点E的坐标为：；
（3）①当点P在线段上时：
如图，过点P作，

∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
②当点P在线段的延长线上时，

如图，过点P作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
③当点P在线段的延长线上时，

如图，过点P作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，算术平方根的非负性的应用，坐标与图形，清晰的分类讨论是解题关键．
15．（2021春·河北石家庄·九年级校考期中）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示．

(1)a=___________，b=___________．
(2)直接写出图中y关于x的函数关系式．
(3)饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？
(4)若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上
(4)不能，见解析

【分析】（1）根据题意，求得，再求得反比例函数解析式，将代入求得；
（2）根据题意得出点的坐标为（0，20）和（8，100），然后利用待定系数法求出两个函数解析式；
（3）先求出到第一节课下课时的时间为100分钟，是2个40分钟多20分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解．
【详解】（1）（1）开机加热时每分钟上升，
，
∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．
设关系为，将点代入得，
∴反比例函数解析式为，
令，解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）∵设一次函数关系式为：，
将（代入，
解得．
∴，
由（1）可得反比例函数解析式为：；
∴
（3）在中，令，解得；
在反比例函数中，令，
解得：，
，
∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上．
（4）上午到上午第一节下课时（）的时间是分钟，是2个40分钟多20分钟，
在中，当时，，
∵，
∴学生上午第一节下课时不能喝到超过以上的水．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键．
16．（2021春·北京海淀·八年级北京市上地实验学校校考期中）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．

(1)如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“近轴点”是________．
(2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，且
①若为线段的“远轴点”，直接写出点的横坐标的取值范围________；
②点为轴上的动点（不与点重合且），若为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①或；②
【分析】1）先画出等边，，再求出点，的坐标，进而可得答案；
（2）①先画出等边，，再求出点，的坐标，进而可得答案；
②先判断出点Q在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可．
【详解】（1）（1）如图，作等边，，

∵点，的坐标分别为，，
∴，，
在Rt中，，
∴点，
同理可得：，
当点P在线段上时，点P是“近轴点”，
∴和是“近轴点”，
故答案为：，；
（2）（2）①如图2-1，

以为边作等边，，
设，则，
∵在Rt中，，
∴，
解得，（舍负），
∴，
∵在等边中，
∴，，
∴，
∴点K的坐标为，
同理可得，
若P为线段的“远轴点”，
∴点P的横坐标x的取值范围为或．
故答案为：或．
②如图2-2，由题意点Q在线段的垂直平分线上．连接，．

∵点Q在的垂直平分线上，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点Q就是的垂直平分线与轴的交的，
∵′在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴当点Q的坐标为时，的值最小,
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，的特殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
17．（北京市丰台区2022--2023学年九年级上学期期末考试数学试卷）阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：

…









…

…









…

其中______；
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(3)根据函数图象，回答下列问题：
①当时，则y的取值范围为______．
②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）把代入函数解析式即可得的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y轴对称；当时，根据函数图象可得到；
②根据函数的图象即可得到b的取值范围是．
【详解】（1）将代入函数得：
．
故答案为：
（2）根据表格：

…









…

…









…

描点法作出函数的图象如下图所示：

（3）①根据函数图象可知：
当时，y的取值范围是；
故答案为：；
②由函数图象知：∵关于x的方程有个互不相等的实数根，
∴b的取值范围是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
18．（2022春·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，在弧和弦所组成的图形中，P是弦上一动点，过点P作弦的垂线，交弧于点C，连接．已知，设A，P两点间的距离为，P，C两点间的距离为，A，C两点间的距离为．
小宇根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
0
2.24
2.83
3.00
2.83
2.24
0
y2/cm
0
2.45
3.46
4.24
　 　
5.48
6

(2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：当有一个角是时，的长度约为　 　
【答案】(1)4.90
(2)见解析
(3)1.50或4.50

【分析】（1）利用测量法解决问题即可．
（2）利用描点画出函数图象即可．
（3）利用图象法求出函数与直线,直线的交点的横坐标即可解决问题．
【详解】（1）利用测量法可知：当时，．
故答案为4.90．
（2）函数图象如图所示：

（3）函数与直线的交点的横坐标为1.50，
函数与直线的交点的横坐标为4.50，
故当有一个角是时，的长度约为1.50或4.50．
故答案为1.50或4.50．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．