专题29 规律探究题（共14道）-中考数学真题分项汇编（全国通用）

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1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．B．mC．D．
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到；
第3圈有16个点，即到，；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；
是在第23圈上，且，即，故B选项正确；
第n圈，，所以，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )



……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
二、填空题
6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，，，，…都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．
7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，

∵
∴
∴,
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为2023，
∵，674为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

【答案】/
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．
【答案】
【分析】解直角三角形得出，，求出，证明，，得出，，总结得出，从而得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵轴，
∴点A的横坐标为，
∵，
∴点A的纵坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵轴，轴，
∴，，
∵轴，轴，轴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律．
13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】∵A点坐标为，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
又∵为点绕A点顺时针旋转所得，
∴点坐标为，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．
∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得
故点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
三、解答题
14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．

【实践应用】
任务一 完善的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．

【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为：．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为，
所以，．
故答案为：，．
任务二：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……
则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．