专题30 半角模型-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

模块二 常见模型专练

专题30 半角模型

例1  （2022年·贵州黔西·中考真题）综合与实践

（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　   　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　   　．

从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型 。

模型1：正方形中的半角模型

模型2：等腰直角三角形中的半角模型

结论一

半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。

即如图中，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC和CD边上，满足∠EAF=45°，连结EF，则有：EF=BE+DF。

结论二

两射线的公共端点是射线截端点两对边所得直角三角形的一个旁心，即射线平分截得的直角三角形两锐角的外角。

结论三

两射线的端点到射线与端点两对边交点的连线的距离等于正方形的边长。

结论四

过两射线的端点且垂直于射线与端点两对边交点连线的直线分“半角三角形”得的两个三角形与半角三角形外的两个小三角形分别全等。

结论五

射线截端点两对边所得直角三角形的两直角边相等时，其斜边长取到最小值，其面积取到最大值。

【变式1】（2021·辽宁·沈阳市南昌中学（含：西校区、光荣中学）九年级阶段练习）如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且，对角线AC、BD相交于点O．

（1）如图1．当点F与点O重合时，直接写出的值为 　 　；

（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，，且，试探究CG与DF的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；

（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．

【变式2】（2021·河南平顶山·九年级期中）（1）阅读理解

如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌     ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为    ；

（2）类比探究

如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；

（3）拓展应用

如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

【变式3】（2021·辽宁沈阳·一模）（1）思维探究：

如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是     ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G，B，E在同一条直线上，然后证明△AEF≌     即可得证结论；（只需填空，无需证明）

（2）思维延伸：

如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45°，猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；

（3）思维拓广：

如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．

【变式4】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．

(1)求边AB的长；

(2)求∠BAC的度数；

(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．

21．（2020·重庆江津·八年级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD．

（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？

【变式5】（2020·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料：

已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

【培优练习】

1．（2022秋·山西·九年级统考期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

2．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，

求证：．

我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．

请你根据小明的思路写出完整的解答过程．

证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，

……

（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，

①求的度数；

②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

4．（2021秋·广西南宁·九年级统考期中）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．

(1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；

【类比延伸】

(2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．

5．（2022·全国·九年级专题练习）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．

(1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________；

(2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

(3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长．

6．（2020秋·重庆璧山·九年级重庆市璧山中学校校考阶段练习）“半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

（1）小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：　      　

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）如图3，边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF＝1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与O、F不重合），且∠GPE＝45°，设AG＝m，求m的取值范围．

7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN．

（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．

（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．

8．（2020秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是　   　．

像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

拓展

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是　   　．请证明你的结论．

实际应用

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是　   　海里（直接写出答案）．

9．（2022秋·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．

（1）延长CB到点G，使BG＝        ，连接AG；

（2）证明：EF＝BE＋DF

10．（2021·江苏·九年级专题练习）已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

（1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．

11．（2021秋·江苏镇江·八年级阶段练习）如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是____________．

象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

（2）拓展 如图②，若在四边形ABCD中,，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是________________．

请证明你的结论．

（3）实际应用 如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西35°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东75°的B处,，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为65°,试求此时两舰艇之间的距离是_____________海里 (直接写出答案）．

12．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1)直接写出图1中线段、、之间的数量关系；

(2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

(3)如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．

13．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．

(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；

(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；

(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．

14．（2023·江西·九年级专题练习）【模型建立】

(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．

小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．

①，，之间的数量关系为________；

②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．

【类比探究】

(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．

【模型应用】

(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．

15．（2020秋·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）【模型引入】

当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”

【模型探究】

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．

【模型应用】

（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，CEF的周长等于     ．

（4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的长．

（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．