2023高考能力提高专项练习 第一节 直线的方程

【能力提升练】   第一节 直线的方程

1．(2022•重庆市巴蜀中学高三第八次月考)已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【解析】  点到直线的距离为，由题意得坐标原点到直线距离，，所以，解得，所以k的取值范围为.故选：C.

【答案】  C

2．(2022•全国高三专题练)已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是(       )

A． B．

C． D．

【解析】  由直线的方程为，所以，

即直线的斜率，由.

所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，

由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B

【答案】  B

3．(多选)(2022•全国高三专题练)下列四个命题中，错误的有(       )

A．若直线的倾斜角为，则

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

【解析】  因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD

【答案】  ACD

4．(2022•全国高三专题练)已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为(       )

A．  B．   C．     D．

【解析】  直线方程变形得：.

由得，∴直线恒过点，

，，

由图可知直线的斜率的取值范围为：或，

又，∴或，即或，

又时直线的方程为，仍与线段相交，

∴的取值范围为.故选：C.

【答案】  C

5．(2022•江苏高三专题练)已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是(       )

A．   B．  C． D．

【解析】把坐标代入两条直线和,得,,,过点,的直线的方程是：,,则,,,所求直线方程为：．故选 ：A.

【答案】  A

6．(2022•西北工业大学附属中学二模)已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是(       )

A． B．

C． D．

【解析】  因为，故，整理得到：，故定点为：.故选：A.

【答案】  A

7．(2022•上海市实验学校模拟)已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：

①；

②当时，有最小值，无最大值；

③；

④当且时，的取值范围是.

正确的个数是(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】  将代入有，而与在的两侧，则，①错误；

由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，所以，故无最值，②错误；

由上图知：在直线左上方，则，③正确；

由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.故选：B

【答案】  B

8．(2022•全国高三专题练)已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为(       )

A． B． C．2 D．4

【解析】  易知，则，整理得，由解得，则，则，即，又，则，

则，

当且仅当即时取等，故的最小值为.故选：B.

【答案】  B

9．(多选)(2022•重庆模拟)已知直线的方程为，则下列说法中正确的是(       )

A．当变化时，直线始终经过第二、第三象限

B．当变化时，直线恒过一个定点

C．当变化时，直线始终与抛物线相切

D．当在内变化时，直线可取遍第一象限内所有点

【解析】  由题斜率时，轴截距，此时直线经过第一、第二、第三象限；斜率时，轴截距，此时直线经过第二、第三、第四象限；故A正确；

当变化时，直线显然不恒过一个定点，故B错误；

联立方程，可得，所以，所以直线与抛物线只有一个交点，又，所以当变化时，直线始终与抛物线相切，故C正确；

当时，，当且仅当时取等号，所以当在内变化时，直线不可以取遍第一象限内所有点，故D错误．故选：AC.

【答案】  AC

10．(多选)(2022•江苏扬州中学高三阶段练)以下命题正确的是(       )

A．若直线的倾斜角为，则其斜率为

B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面

C．不经过原点的直线都可以用方程表示

D．若点在线段()上运动，则的最大值为

【解析】  对于A：因为倾斜角的取值范围为，当，斜率不存在，故A错误；

对于B：由，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，即，则，，，四点共面，故B正确；

对于C：平行于轴或轴的直线不能用方程表示，故C错误；

对于D：因为点在线段上运动，所以，因为，所以，，所以，故的最大值为，故D正确；故选：BD

【答案】  BD

11．(2022•浙江高三专题练)已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．

【解析】  由已知得，代入直线得，

即，由，解得，直线必过定点，故答案为:.

【答案】 

12．(2022•北京西城高三阶段练)已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．

【解析】  由题意得直线恒过定点，且斜率为，

∵直线不通过第一象限，∴，解得，

故实数的取值范围是．答案：

【答案】 

13．(2022•江苏高三专题练)在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是(       )

A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条

B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条

C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条

D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条

【解析】  由题意，直线与轴、轴交点分别为，，∴，作出其图象如图所示，

由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.故选：A

【答案】  A

14．(2022•陕西西安中学高三阶段练)已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．

【解析】  如图，作出直线及，它们的交点为，

直线上满足的点在点右下方，

，又直线的斜率为，，

由图可得的范围是．

故答案为：．

【答案】 

15．(2022•重庆市第八中学高三第四次调研检测)在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．

【解析】  由题意知，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则，又，所以，有，则，其中，当时，取得最大值，且最大值为.故答案为：

【答案】 

16．(2022•湖北省重点中学高三第二次联考)在平面直角坐标系内，设M(x1，y1)、N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c=0，设．有下列四个说法：

①存在实数δ，使点N在直线l上；

②若δ=1，则过M、N两点的直线与直线l平行；

③若δ=﹣1，则直线l经过线段MN的中点；

④若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．

上述说法中，所有正确说法的序号是______．

【解析】  对于①，化为：，即点，不在直线上，因此①不正确．

对于②，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故②正确；

对于③，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故③正确；

对于④，，则，则点，在直线的同侧，故④正确；故答案为：②③④.

【答案】  ②③④

17．(2022·全国·高三专题练)已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．

【解析】  由题易知直线l的斜率存在，故.

则，当且仅当，即时，等号成立.

所以或，即直线l的倾斜角的取值范围是或.

故答案为：；或.

【答案】          或.

18．(2022•上海虹口二模)设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.

【解析】  因为，所以，

而直线：即过定点，

：即过定点，

所以与的交点在以为直径的圆上，

圆方程为，即，

所以到的距离的最大值为．

故答案为：．

【答案】