2023高考能力提高专项练习 第二节 导数与函数的单调性

这是一份2023高考能力提高专项练习 第二节 导数与函数的单调性，共17页。试卷主要包含了设，则，已知函数，则下列说法正确的有，已知函数，其中，则，已知，，，则，已知实数，，满足且，若，则等内容，欢迎下载使用。
【能力提高练】  第二节 导数与函数的单调性1．(2022•新高考全国I卷)设，则(    )A． B． C．      D．【解析】  设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.【答案】  C2．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为(    )A． B． C． D．【解析】  令，则可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，是上单调递增，所以是上单调递增，因为，由可得即，由是上单调递增，可得 解得：，所以不等式的解集为，故选：A.【答案】  A3．(2022•重庆市育才中学高三一模)已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为(    )．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】  根据题意，求导可得，，∵( )，∴在上单调递增，又∵当时，，∴当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，故有，即得，所以根据题意，若使，需使的值域中包含，即得，故的最大值为2.故选：B.【答案】  B4．(2022•江西师大附中三模)下列函数中既是奇函数又是增函数的是(       )A．                B．C．             D．【解析】  对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又，所以在上单调递增，在上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又，令，令，所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又，所以在上单调递增，故C不符合题意；对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，则为增函数，又函数为增函数，所以在R上单调递增，故D符合题意.故选：D.【答案】  D5．(2022•重庆一中高三第三次月考)(多选)已知函数，则下列说法正确的有(    )A．当时，B．若不等式至少有3个正整数解，则C．过点作函数图象的切线有且只有一条D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是【解析】  对于A：当，∴，，∵，∴，A正确；对于B：，画出与的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足，∴，故B错；对于C：设切点则，∴，即，设，当时，，∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又，∴，由得切线方程是，故C正确；对于D.：由题意.设，则，于是在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即的最大值是，选项D正确；故选：ACD.【答案】  ACD6．(2022•重庆市第八中学高三第四次调研检测)已知函数，其中，则(    )A．在上单调递增 B．在上单调递减C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形【解析】  由题设，，定义域为且，所以关于对称，C正确；又，当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；当时，在上，即在上递增，B错误；由，不可能为定值，故D错误.故选：C【答案】  C7．(2022•西南四省名校高三第二次大联考)已知，，，则(    )A． B．C． D．【解析】  由，，，则a，c可看作和到点的斜率．如图所示：构造在上单调递增，在上单调递减，且过点，由此，故选：A．【答案】  A8．(2022•湖北省二十一所重点中学高三(下)第三次联考)已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是(    )A． B．C． D．【解析】  根据题意，设，易知当时，递减；，即为；，即为，所以，即；，即，故A错，故D错；，即，故B错；构造函数，所以恒成立，所以在单调递增，所以，即，所以；故选：C.【答案】  C9．(2022•湖北省二十一所重点中学高三(下)第三次联考)函数有两个零点，下列说法错误的是(    )A． B．    C．     D．【解析】  因为函数有两个零点，所以有两个根，即，即与有两个交点，画出函数图像如下图所示：设，所以，当时，解得，函数单调递增；当时，解得，函数单调递减，所以，当时，，当时，，所以当时，与有两个交点，即函数有两个零点，故A正确；结合图像可知，因为，要证明，即证明，整理得，令，所以，设，所以恒成立，所以在单调递增，所以，即，故D正确；由D选项正确，即，即成立，因为，所以，所以，故B不正确；因为，，可得，可得，故C选项正确.故选：B.【答案】  B10．(2022•黑龙江省哈三中第五次验收)已知实数，，满足且，若，则(    )A． B．C． D．【解析】  由得，————①由得，————②两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；因为，，所以，即，所以；令，则，当时，，所以在内单调递增，即，所以，即，又令，则，当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.所以.故选：D.【答案】  D11．(2022•四川省成都市第七中学高三(下)开学考试)已知函数有两个零点，则的取值范围为(    )A． B． C． D．【解析】  由得到：；令，由题意可以看做是与有两个交点；则，其中，，是单调递减的，并且时，=0；因此函数存在唯一零点，；当时，；时，；；得如下函数图像：显然当时，与有两个交点；故答案为：B.【答案】  B12．(2022•西北工业大学附属中学高三一模)已知，若过一点可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是(    )A． B． C． D．【解析】  设切点为，对函数求导得，则切线斜率为，所以，切线方程为，即，所以，，可得，令，其中，由题意可知，方程有两个不等的实根..①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，则方程至多只有一个根，不合乎题意；②当时，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.由题意可得，可得.故选：A.【答案】  A13．(2022•西北工业大学附属中学高三第六次适应性训练)将方程的实数根称为函数的“新驻点”.记函数的“新驻点”分别为，则(    )A． B． C． D．【解析】  由，得，则，，所以由，得，由，得，所以，令，则，当时，，所以在上为增函数，因为，，所以，由，得，令，所以，令，得或，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，，，所以，综上得，故选：C.【答案】  C14．(2022•辽宁省大连市第二十四中学等校高三联合模拟)已知函数，若且，则有(    )A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B．C．时， D．【解析】  若是奇函数，则，又因为，与矛盾，所有函数不可能时奇函数，故A错误；令，则，因为，，所以，所以函数为增函数，所以，即，所以，故B错误；因为，所以，，所以，故，即，所以，故C错误；有，即，故D正确.故选：D.【答案】  D15．(2022•湖南省雅礼中学高三第七次月考)(多选)若实数，则下列不等式中一定成立的是(    )A．        B．C．                      D．【解析】  对于A，设，则，当时，恒成立，在上单调递减，，，，即，，A正确；对于B，由A知，在上恒成立，在上单调递减，，，，即，，即，，B正确；对于C，若，则，即；由A知，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，若，此时与大小关系不确定，即与大小关系不确定，C错误；对于D，设，则；令，则，当时，，即在上单调递增，当时，，此时，在上单调递减，，，，即，，D正确.故选：ABD.【答案】  ABD16．定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是(    )A． B．C． D．【解析】  构造函数，则，当时，.当时，则，；当时，则，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以，即，故函数的图象关于直线对称．对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误；对于B选项，，即，即，B选项正确；对于C、D选项，，即，C、D选项错误.故选：B．【答案】  B17．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【解析】  由题意可得，所以，令，则，易得在上单调递增，所以，即在恒成立，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.【答案】  18．(2022•四川省南充高级中学高三第三次月考)已知O为坐标原点，过曲线上一点P作C的切线，交x轴于点A，则面积取最大值时，点P的纵坐标为______．【解析】  设，则 ，且，，，所以切线方程为，令，得；所以的面积为，，令得或(舍)；当时，，为增函数；当时，，为减函数；所以时，面积取最大值，所以点P的纵坐标为.故答案为：.【答案】  19．(2022•天津市南开中学高三第四次调查)已知，(n为正整数，)(Ⅰ)若在处的切线垂直于直线，求实数m的值；(Ⅱ)当时，设函数，，证明：仅有1个零点.(Ⅲ)当时，证明：.【解析】  (Ⅰ)，依题意得  (Ⅱ)要证仅有1个零点，即证仅有1个实根即证，仅有1个实根 ①当时，在区间上单调递增，又，，所以在区间上有一个零点．②当时，设.，所以在区间上单调递增.又，，所以存在，使得.所以，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；又，.所以在区间上无零点．综上所述，函数在内只有一个零点．(Ⅲ)当时，，要证，只需证： 令，，所以在单调递减所以，所以 要证(1)，只需证   法一：令，  令， ，在单调递减，，，，使，即，当，，单调递增当，，单调递减，所以原命题得证 ，法二：令，，∴在单调递减，在单调递增∴，∴，∵，∴ ，∴，即证∴原命题得证【答案】  (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.20．(2022•吉林省实验中学高三第三次学科诊断)设函数，函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，若恒成立，求a的取值范围．【解析】  (1)由题意，函数，所以，当时，令，则在上单调递增；当时，令，解得，令，解得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(2)要证成立，即证，令，易知，可得，令，又在上单调递增，且则，所以在上单调递减，所以则当时，可得，则有在上单调递增，则；则当时，可得，又因为在上单调递增，则存在，使得，所以当时，，则此时，不符合题意.综上所述：实数的取值范围．【答案】  (1)答案见解析    (2)