2023高考能力提高专项练习 导数与函数的极值、最值

【能力提高练】  第三节 导数与函数的极值、最值

1．(2022•新高考全国I卷)(多选)已知函数，则(    )

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【解析】  由题，，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；

因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC

【答案】  AC

2．(2022•江西省新余市第一中学高三二模)已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【解析】  由题意得有四个大于1的不等实根，记，则上述方程转化为，即，所以或，因为，当时，，单调递减：当时，，单调递增；所以在处取得最小值，且最小值为.因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且.故选：B.

【答案】  B

3．(2022•江苏省苏州中学等四校高三(下)期初联合检测)对于函数f(x)，一次函数g(x)＝ax＋b，若f(x)≤g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．若函数g(x)＝x－1是函数，x≥0的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是(    )

A． B．[1，＋∞) C．[1，2] D．

【解析】  由题可知在时恒成立，即在时恒成立.令，，∴在单调递减，，∴x≥0时，，当且仅当x＝0时取等号，令，∵，∴在单调递增，∴，当且仅当x＝0时取等号，，当且仅当x＝0时取等号，，∴，即.故选：B.

【答案】  B

4．(2022•黑龙江省实验中学高三第六次月考)已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【解析】  由，得，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．(1)，，记，，，，，时，，单调递减；时，，单调递增．(1)，，故实数的取值范围为，．故选：C．

【答案】  C

5．(2022•河北省名校联盟高三(下)联考)(多选)若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是(       )

A． B． C． D．2

【解析】  由题意，不等于，由，得，

令，则，设，则，

因为函数在上单词递增，且，

所以当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，从而，

即，解得或.故.故选：ACD.

【答案】  ACD

6．(2022•华南师范大学附属中学高三(上)综合测试)(多选)已知函数，，下列说法正确的是(    )

A．当时，函数有两个极值点

B．当时，函数在上有最小值

C．当时，函数有三个零点

D．当时，函数在上单调递增

【解析】  因为，则.对于A选项，当时，，即方程有两个不等的实根，此时，函数有两个极值点，A对；

对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，由韦达定理可得，必有，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故函数在上有最小值，B对；

对于C选项，当时，，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如图所示，由图可知，函数只有两个零点，C错.

对于D选项，当且时，，故函数在上单调递增，D对.故选：ABD.

【答案】  ABD

7．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【解析】  很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，

时函数为常函数，而当时，不合题意，

当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.

【答案】  A

8．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)若函数为偶函数，且时，，其中表示实数、中的最大值，则的极值点个数为(    )

A． B． C． D．

【解析】  当时，令，则，

令，则，令，则，

所以，函数在上单调递增，

当时，则，所以，函数在上单调递增，

因为，，所以，存在使得，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

则，

因为，，所以，存在使得，

当时，，当时，，

所以，当时，，其中，

因为函数在区间内只有一个极值点，

令，对任意的，，即函数在上为增函数，无极值点，因为函数在上单调递减，且函数在上单调递增，

则也为函数在上的一个极值点，

故函数在上的极值点的个数为，

由偶函数的性质可知，函数在上也有个极值点，

因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，

所以，也为函数的一个极值点.

综上所述，函数的极值点的个数为.故选：D.

【答案】  D

9．(2022•重庆市第八中学高三第三次调研检测)(多选)已知函数，则下列结论正确的是(    )

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

【解析】  对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.

【答案】  ABC

10．(2022•重庆市第八中学高三(下)第二次调研检测)(多选)设函数，，则下列说法正确的有(    )

A．不等式的解集为；

B．函数在单调递增，在单调递减；

C．当时，总有恒成立；

D．若函数有两个极值点，则实数

【解析】  由题意得，则

对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；

对于B：，令，解得x=1，所以当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，故B错误；

对于C：当时，若，则，所以，即，令，则，，当时，，函数为增函数，又，所以在是恒成立，所以为减函数，又，所以在是恒成立，所以当时，总有恒成立，故C正确；

对于D：若函数有两个极值点，则有两个根，即在有两个根，令，则，所以当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，又当时，，当时，，，所以，解得，故D正确.故选：ACD

【答案】  ACD

11．(2022•西南大学附属中学校高三第六次月考)已知函数，，若时，成立，则实数a的最大值是(    )

A．1 B． C． D．

【解析】  由题意知：当时，恒成立,即在上恒成立,也就是在上恒成立,令则，即在上单调递增，则由可得即在上恒成立,令，，有，当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，在时取最小值，则由在上恒成立,可知，故实数a的最大值为，故选：B

【答案】  B

12．(2022•四川省南充高级中学高三第四次月考)不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C．      D．

【解析】  由不等式对任意恒成立，此时，可得 恒成立，令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；令 ，则，当 时，，当时，，故，即，所以， ，当且仅当 时取等号，令，则，当 时，，当时，，故 ，且当时，也会取到正值，即在 时有根，即 等号成立，所以，则，故，故选：C

【答案】  C

13．(2022•江苏省南通模拟)已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则(       )

A．-1 B．2 C．-3 D．4

【解析】  ，所以

因为函数在处取极小值，所以，所以，，，

令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B

【答案】  B

14．(2022•高考全国乙卷数学(理))已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【解析】  ，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，

若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，

若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.

【答案】 

15．(2022•江苏省扬州中学高三(下)开学检测)已知实数a，b，c满足(其中e为自然对数的底数)，则的最小值是______.

【解析】  令，所以在区间递减；在区间递增，所以是的极小值也即是最小值，所以，当时等号成立.所以，依题意，所以，则，所以，所以当时，取得最小值.故答案为：

【答案】 

16．(2022•吉林省东北师范大学附属中学等五校高三联考)已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为___________.

【解析】  如图所示，因为，，，所以，设，，设，，，因为在为增函数，且时，，所以，，为减函数，，，为增函数，所以，即的最小值为.故答案为：

【答案】 

17．(2022•吉林省实验中学高三第三次学科诊断)记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.

(1)以下函数与存在“点”的是___________

①函数与；

②函数与；

③函数与.

(2)已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.

【解析】  ①因为函数与，所以，，由题意得，无解，故不存在“点”；

②函数与，所以，，由题意得，解得，故为函数与的一个“点”；

③函数与，所以，，由题意得，无解，故不存在“点”；

函数与，则与，由题意得，则，令，则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为,故答案为：②；

【答案】  ①②    ②

18．(2022•湖南省雅礼中学高三第六次月考)已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________

【解析】  设直线与函数的切点为，由，所以，解得，所以切点为，所以，解得，即切线方程为，设直线与函数的切点为，则，解得 ，即，设切线方程为，且与的切点为，与的切点为，则，，整理可得，，所以，整理可得，设，则，设，则，所以在为增函数，又因为，所以在上，即，所以单调递减； 在上，即，所以单调递增，所以，即，解得.故答案为： ；

【答案】  ①    ②

19．(2022•华南师范大学附属中学高三(上)综合测试)设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是____.

【解析】  求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，(原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点(该零点值大于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点(其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．故答案为：．

【答案】 

20．(2022•山西省运城模拟)已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.

【解析】  ，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.

【答案】 

21．(2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试)若．

(1)当，时，讨论函数的单调性；

(2)若，且有两个极值点，，证明．

【解析】  (1)因为

当时，所以，

令，解得或2，

当时，则当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，，故函数在上单调递增；

当时，当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；

(2)证明：当时，．

函数有两个极值点方程有两个正根，

且，解得，

由题意得

，

令．则在上单调递椷，

，．

【答案】  (1)答案不唯一，具体见解析    (2)证明见解析

22．(2022•黑龙江省双鸭山市第一中学高三(下)开学考试)已知函数.

(1)设函数，求函数的极值；

(2)若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.

【解析】  (1)依题意，定义域为，

∴，

①当，即时，令，∵，∴，

此时，在区间上单调递增，

令，得.此时，在区间上单调递减.

②当，即时，恒成立，在区间上单调递减.

综上，当时，在处取得极大值，无极小值；

当时，在区间上无极值．

(2)依题意知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，

故函数在上，有.

由(1)可知，①当，即时，在上单调递增，

∴，∴，∵，∴

②当，或，即时，在上单调递减，

∴，∴.

③当，即时，

由(2)可知，在处取得极大值也是区间上的最大值，

即，

∵，∴在上恒成立，此时不存在使成立.

综上可得，所求的取值范围是或.

【答案】  (1)当时，极大值为，无极小值；当时，无极值；(2)或.

23．(2022•重庆市第八中学高三第七次调研检测)已知函数．

(1)若为的极小值点，求a的取值范围；

(2)若有唯一的极值，证明：，．

【解析】  (1).

①当时，在上单调递诚，在上单调递增，所以为的极小值点．

②当时，由得或．

(ⅰ)当时，在R上单调递增，无极值点；

(ⅱ)当时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，所以为的极小值点；

(ⅲ)当时，在上单调递增，在上单调递诚，

在上单调递增，所以为的极大值点，

综上，a的取值范围是．

(2)根据(1)可知，为唯一的极值，所以，所以．

所以即证，．

设，则，

设，则，

设，则，

当时，,,,

所以，即，所以在上单调递增．

，，又，

所以，所以，使．

因此当时，，当时，．

得在上单调递减，在上单调递增，

又，，

因此当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，得，

所以，从而原命题得证．

【答案】  (1)    (2)证明见解析

24．(2022•天津市新华中学高三(上)期末)已知函数

(1)若，求函数的单调递减区间;

(2)若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:

(3)若，正实数满足，证明:

【解析】  (1)因为，所以， 此时，

由，得，又，所以．

所以的单调减区间为．

(2)方法一：令，

所以．

当时，因为，所以．所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立．

当时，，

令，得．所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为．

令，因为，，又因为在是减函数．

所以当时，．所以整数的最小值为2．

方法二：(2)由恒成立，得在上恒成立，

问题等价于在上恒成立．

令，只要．

因为，令，得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．当时，；当时，，

所以在上是增函数；在上是减函数．所以．

因为，，所以，此时，即．

所以，即整数的最小值为2．

(3)当时，

由，即

从而

令，则由得，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，

所以，因此成立．

【答案】  (1)；(2)；(3)证明见解析