2023高考能力提高专项练习 第一节 平面向量及其线性运算

【能力提升练】   第一节 平面向量及其线性运算

1．(2022•新高考全国I卷)在中，点D在边AB上，．记，则(    )

A． B． 

C． D．

【解析】  因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．故选：B．

【答案】  B

2．(2022•江苏省南京师范大学附属中学高三(下)开学考试)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上(不含端点)，延长AD到P，使得AP＝9．若＋ (m为常数)，则CD的长度是(    )

A． B．3 C． D．7

【解析】  设，则＋，即＋，因为B、C、D三点共线，所以，解得，因为AP＝9，所以，即，所以，在Rt中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，易知，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故选：C

【答案】  C

3．(2022•湖南省长郡中学高三第六次月考)设E是平行四边形ABCD所在平面内一点，，则(    )

A． B．

C． D．

【解析】  如图示：.而，所以.,所以.故选：B

【答案】  B

4．(2022•全国高三专题练)给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】  对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．

【答案】  B

5．(2022•江苏省一模)平面内三个单位向量，，满足，则(       )

A．，方向相同 B．，方向相同

C．，方向相同 D．，，两两互不共线

【解析】  因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，方向相同，故选：A.

【答案】  A

6．(2022•西北工业大学附属中学模拟)设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(       )

A．且 B． 

C．          D．

【解析】  对于A，当且时，或，A错误；

对于B，当时，，B错误；

对于C，当时，或，C错误；

对于D，当时，，D正确．故选：D．

【答案】  D

7．(2022•黑龙江省大庆铁人中学高三(上)期中)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为(    )

A． B． C． D．1

【解析】  在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以最小值为.故选：C

【答案】  C

8．(2022•安徽合肥市第六中学模拟)如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是(       )

A．4 B． C． D．2

【解析】  设，，，，

则

，，

，，

.

所以，

当且仅当，时等号成立.

所以的的最小值是.故选：B

【答案】  B

9．(2022•河北石家庄二中模拟)数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是(       )

A． B．

C． D．

【解析】  依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：D.

【答案】  D

10．(2022•全国高三专题练)已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有(       )

①，；②，；

③，．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【解析】  对于①，，，故两向量共线；

对于②，，，故两向量共线；

对于③，，

假设存在

，因为，是不共线向量，

故得到无解.故选：A.

【答案】  A

11．(2022•全国高三专题练)如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．

【解析】  设，，

，，，共线，，．

，则，

点，是线段上两个动点，，．

则的最小值为．故答案为：．

【答案】  8

12．(2022•全国高三专题练)已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．

【解析】  根据条件：，

如图设D为BC的中点，则

因为G是的重心，，

，

又M，G，N三点共线，

，即.

故答案为：3.

【答案】  3