北京课改版九年级上册22.2 圆的切线同步练习题

这是一份北京课改版九年级上册22.2 圆的切线同步练习题，共38页。
2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明附答案
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在边AB上，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．







2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．

(1)求证：直线MN是⊙O的切线；
(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．






3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2，求EF的长．







4．如图，的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D．E分别是∠ACB的平分线与，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由．








5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且AD=BD，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．







6．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，且交的延长线与点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．








7．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．







8．如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD＝，求⊙O的半径．










9．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，E是的中点，OE交⊙O的切线BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD = 0.8，⊙O的半径为2，求线段CD的长．







10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．








11．如图，AB是⊙O的直径AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值；






12．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．






13．如图，为的直径，为上不同于的两点，，连接.过点作，垂足为，直线与相交于点．

（1）求证：为的切线；
（2）当，时，求的长．







14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC2，ABCD，求⊙O半径．










15．已知：如图，是的直径，点是过点的的切线上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，连接．

（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若，，求的长．







16．如图，在中， ，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，求的长．






17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．








18．如图，已知以的边为直径作的外接圆的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）求证：是切线；
（2）若求的长．


参考答案：
1．（1）证明见解析；（2）S阴影＝2π．
【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）阴影部分的面积=三角形ODB的面积-扇形EOD的面积即可．
【解析】解：（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
又∵OD=2，
∴BD=2，
∴阴影部分的面积=S△OBD-S扇形ODE


．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，含30度角的直角三角形，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，结合题意证明OC⊥MN即可；
（2）结合题意证明S△EAC=S△EOC，则，计算即可．
【解析】（1）如图，连接OC，

∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=，即∠ACO+∠OCB=，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）如图，连接OE、CE，

由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B=，
∴∠B=，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC=S△EOC，
于是，
在中，，，则，
在中，，，则，，
，而，

【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的计算和推理能力，题目综合性比较强，难度偏大．
3．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连结OD，证明四边形AOCD是菱形，得到和都是等边三角形，证明，即可得解；
（2）根据30°所对直角边是斜边的一半进行求解即可；
【解析】（1）连结OD，如图，

四边形AOCD是平行四边形，而，
四边形AOCD是菱形，
和都是等边三角形，
，，
EF为切线，，，
在和中，
，，
，，
BF是⊙O的切线；
（2）在中，，
，，．
，．
【点评】本题主要考查了圆的切线证明，结合三角形全等、直角三角形30°角所对直角边是斜边一半计算即可．
4．（1），AD=；（2）直线PC与圆相切，理由见解析
【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则ΔADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，可求出∠CAB=30º，进而求出∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为O的切线．
【解析】（1）连结BD，如图所示，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC＝（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB•cos45º=AB＝（cm）；
（2）直线PC与圆相切，理由：
连接OC，
在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，
∴，
∵OA=OC，
，
∴，
∵，
∴，
，
∵PC=PE，
∴，
，
∴直线PC是圆的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
5．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）通过已知条件证明即可证明；
（2）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质求解即可；
【解析】（1）∵，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∴OD∥AC，
∴，
∵，
∴，
∵OD是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的证明，结合角平分线的性质、直角三角形两锐角互余进行计算是关键．
6．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD=∠BAC=30°，由30°的直角三角形的性质即可求得BD．
【解析】解：（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴BD=AB=×8=4．
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）9
【分析】（1）连接OD，OE，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据全等三角形的性质得到∠OED＝∠OAD＝90°，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，根据已知条件推出四边形ABCH是矩形，求得CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，根据切线的性质得到AD＝DE，CE＝BC，求得DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，OE，

∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，
∵△ADO≌△EDO（SSS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，
∴AD＝DE，CE＝BC，
∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，
∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，
∴AD＝9．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）1.
【分析】（1）连接OD，AD只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）连接AD，从而得到∠ADB=90°，根据已知条件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，则△OAD为等边三角形，利用勾股定理即可求得AD的长，从而得出OA．
【解析】（1）证明：如图，

∵O、D分别为中点，
∴OD为中位线

即：DE为切线
（2）如图，

BD=CD=
作OH⊥BD，由垂径定理得
由平行得∠ODH=30°，
设OH=x，则OD=2x，
解得：
∴半径为1
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
9．（1）见解析   （2）
【分析】连接OD，只要证明即可；
连接BD，利用，可求得BD和AD的长，可得.又根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：， 即可求CD的长.
【解析】（1）CD与⊙O相切．
证明：连结OD．
∵E是的中点
∴
在和中
                
∴
∴
又∵CB是⊙O的切线，OB是半径
∴
∴
∴CD与⊙O相切．
（2）连结BD，

则△ABD是Rt△，
∴
∴
∴
∴在中，.
【点评】本题考查量圆周角与圆心角的关系、切线的判定和锐角三角函数的综合运用.
10．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：过O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA＝，
∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，
∴OB＝＝＝．
【点评】本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键．
11．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质，得∠EAD=∠ADO，从而得OD∥AE，根据切线的判定定理，即可得到结论；
（2）连接OD，BC交OD于G，由垂径定理得BG=CG，设AC=3k，AB=5k（k≠0），由勾股定理和矩形的性质表示出CE，从而得AE，然后由平行线分线段成比例定理，即可求解．
【解析】（1）连接OD，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠EAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OD，BC交OD于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG=CG，
又∵，
∴设AC=3k，AB=5k（k≠0），根据勾股定理得：BC=═4k，
∴OB=AB=，BG=BC=2k，
∴OG==，
∴DG=OD﹣OG=﹣=k．
又∵四边形CEDG为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
∵OD∥AE，
∴ ．

【点评】本题主要考查切线的判定定理，垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
12．（1）见解析；（2），解析
【分析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【解析】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．

【点评】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13．（1）证明见解析；（2）9.
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连结AD．先解Rt△BEF，得出BE=BF•sinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB=15，∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理证明∠F=∠BAD，则由sin∠BAD=，求出BD的长．
【解析】（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连结AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，，
∴BE=BF•sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴．
设⊙O的半径为r，
∴，
∴．
∵AB为⊙O直径，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴，
∴，
∴BD=9．
【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
14．(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OC．因为AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，可求得∠ACB=90°，因为OA=OC，∠BCD=∠A，可得∠ACO=∠A=∠BCD，易得∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线．
（2）设CD为x，分别表示出AB和OC的长度，由勾股定理可求得OD=x,所以BD=OD﹣OB= x，易证△ADC∽△CDB，利用相似三角形的性质求得CB=1，利用勾股定理求出，可得半径为.
【解析】(1)证明：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．

(2)解：设CD为x，
则AB=x，OC=OB=x，
∵∠OCD=90°，
∴OD==x，
∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，
∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
即，
解得CB=1，
∴AB=
∴⊙O半径是．
【点评】本题考查切线的证明和相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质.
15．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图，连接，证明，，进而证明，问题得证．
（2）如图，过点作于点．分别根据，求出OG，DG，再利用三角函数构造比例式，代入相关数据，即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接．
，
是的垂直平分线．
，．
，
．
是的切线，
，
．
．
是的半径，
与相切．

（2）过点作于点．
在中，，，，

，，

．
．
．
，
．
∴，
．

【点评】（1）证明切线的方法一般有两种，一是若已知直线与圆有公共点，则构造半径，证明垂直，根据切线的判定定理证明；二是若不知直线与圆有公共点，则过圆心做直线的垂线段，证明垂线段等于半径，根据切线的定义证明；
（2）几何图形中求线段长的方法一般从勾股定理，相似，三角函数等知识点入手．
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．
【解析】解：证明：连接

为直径

又．
又

，

是的切线．
解：

为等边三角形
，

，
；


【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．
17．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接BD，先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，证明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；
（2）先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°，由垂径定理得AH=CH，由垂直平分线的性质得BC=AB=4，CD=AD=2，证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，设 AF=x，则DF=CF-CD=2x-2，根据勾股定理列方程可解答．
【解析】解：（1）DE与⊙O相切，
理由是：连接BD，如下图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，
∴∠BCD=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵∠CED=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CED=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE⊥BD于点D，
∴DE与⊙O相切．
（2）如下图，BD与AC交于点H，

∵DE∥AC，
∴∠BHC=∠BDE=90°．
∴BD⊥AC．
∴AH=CH．
∴BC=AB=4，CD=AD=2．
∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCB，
，
∴CF=2AF，
设 AF=x，则DF=CF-CD=2x-2．
在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2，
∴（2x-2）2=22+x2．
解得：    （舍去），
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，垂直平分线的性质定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理．（1）证明切线最常用的办法，即如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心的半径，只有证明这条半径与该直线垂直即可，此问中能依据90°圆周角所对的弦是直径证明BD是⊙O的直径是解题关键；（2）中能通过证明△FAD∽△FCB，得出CF=2AF是解题关键．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证EF是 的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBE，得出，从而得到AF的值，进而得到，结合勾股定理得到关于AE的方程，即可求出AE的长．
【解析】（1）连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE=∠OBE，
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA，
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB，
∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴EF是切线；
（2）∵∠FEA=∠OEB=∠OBE，∠F=∠F，
∴∆FEA~∆FBE，
∴，
即：，
∴AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去），
∴，
∵在Rt∆ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴AE2+（2AE）2=152，
∴AE=．

【点评】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理，掌握切线的判定定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．