【备考2023中考】2023年中考数学高频考点训练——圆的切线的证明

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2023年中考数学高频考点训练——圆的切线的证明
1．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求AE的长．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．

(1)求证：DE是半圆⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．







4．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的值．
5．如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．

6．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，直接写出图中阴影部分的面积 ．



7．如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，．

（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径为5，请求出长．
8．如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点．
（1）证明：直线与⊙相切；
（2）若，求证：四边形是菱形．

9．如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作，分别交，的延长线于点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度（结果保留）．




10．如图，是的直径，是弦，于，交于，
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．

11．如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

12．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
(1)求证：DC为⊙O切线；
(2) 若AD·OC=8，求⊙O半径．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在BC上，以OB为半径的⊙O经过点A，交BC于点D，连接AD，AD＝CD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）延长AD到点F，连接BF，交⊙O于点E，连接DE，若AF＝4，BF＝5，求⊙O的半径．

14．如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接．

（1）判断与的位置关系并说明理由；
（2）求证：．
15．如图，在中，，是∠BAC的平分线，经过、两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、.

（1）判断直线与的位置关系并证明；
（2）若的半径为2，，求的长度.
16．如图，已知中，，平分交于点，边上一点，经过点、，与交于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，则的半径长为________．






17．如图，在中，以为直径作交于点垂足为，交的延长线于点．

求证：直线是的切线；
若，，求的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O分别切AB于M，BC于N，连接BO、CO，BO＝CO．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接MC，若，求sin∠B的值．
19．如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．





20．如图，在中， ，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，求的长．


参考答案：
1．(1)见解析
(2)

【分析】(1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论；
(2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得．
【解析】（1）证明：如图：连接OD，

是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又是⊙O的半径
DE是⊙O的切线；
（2）解：如图：过点O作于点F，

，
，
，
四边形OFED是矩形，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)AD=6

【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线．
（2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度．
【解析】（1）连接OD，BD，如图，

是直径，
，
，
E是BC的中点，

，



即

是半径，
DE是半圆⊙O的切线．
（2）





．
【点评】此题主要考查了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键．
3．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的意义以及等腰三角形等边对等角证明AD∥CO，即可得出结论；
（2）由已知得OE＝2OC，在Rt△EOC中，设CO＝x，即OE＝2x，由勾股定理得：CE＝x，由此能求出AD．
【解析】解：（1）如图，连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵直径AB＝2BE，
∴OE＝2OC，
在Rt△EOC中，设CO＝x，即OE＝2x，
由勾股定理得：CE＝x，
又∵CE＝，∴x＝1，即OC＝1，
∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，
∴，即，
解得AD＝．
【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
4．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明 再利用 从而可得结论；
（2）连接，设的半径为，先利用勾股定理求解，再证明≌，再利用相似三角形的性质可得答案.
【解析】解：（1）如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴是圆的切线．
（2）连接，设的半径为，

∵，，
∴，，
即，解得：．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
经检验：是原方程的根且符合题意.
【点评】本题考查的是圆的基本性质，切线的判定与性质，勾股定理的应用。相似三角形的判定与性质，熟练的运用以上知识是解题的关键.
5．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，通过，即可证明；
（2）连接，通过证明OD是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）﹣4．
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，得到∠ABC＝90°，根据CD＝CB，OB＝OD，推出∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，由此证得结论；
（2）根据垂径定理和勾股定理求得BF＝BD＝2，OB＝4，由此得到∠BOD＝2∠BOF＝120°，再利用S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD计算即可得到答案．
【解析】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
（2）﹣4．
解：∵OF⊥BD，
∴BF＝BD＝2，OB＝＝4，
∴OF＝OB，
∴∠OBF＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×4×2＝﹣4．
【点评】此题考查圆的切线的判定定理，垂径定理和勾股定理，利用圆的扇形面积计算公式求不规则图形的面积，熟练掌握各定理知识是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠ABO＝∠BAO，∠ABD＝∠D，∠CAD＝∠D，等角代换可得：∠BAO＝∠CAD，根据直径所对的圆周角等于90°可得：∠BAO＋∠CAO＝90°，
继而可得：∠CAD＋∠CAO＝90°，根据切线的判定即可求证结论；
（2）由（1）可得：AO＝AC，易知△AOC是等边三角形，继而根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）在中，OA＝OB＝OC
∴∠ABO＝∠BAO，
∵AB＝AD，AC＝CD，
∴∠ABD＝∠D，∠CAD＝∠D，
∴∠BAO＝∠CAD，
∵BC是的直径，
∴∠BAO＋∠CAO＝90°，
∴∠CAD＋∠CAO＝90°，
∴AD是的切线；
（2）由（1）知∠ABO＋∠BAO＝∠D＋∠CAD即∠AOC＝∠ACO
∴AO＝AC，
又AO＝CO，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，等边对等角的性质、等边三角形判定及其性质，弧长公式，解题的关键是（1）证得：∠CAD＋∠CAO＝90°；（2）求得：∠AOC＝60°．
8．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OC，由折叠的性质证明∥，则，由切线的判定定理即可证明结论；
（2）连接OC，CB，OD，BD，由垂径定理得，再由直角三角形斜边上中线的性质得，由四边相等的四边形是菱形证明结论．
【解析】解：（1）如图，连接，

∵，
∴，
∵，   
∴，                                        
由翻折得，，，
∴，
∴∥，                               
∴，即垂直直线，                   
∵点在圆上，  
∴直线与⊙相切；      
（2）如图，连接OC，CB，OD，BD，

在△中，，
∴，
∵直径垂直弦，
∴，     
∴，                                                
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【点评】本题考查圆的证明，解题的关键是掌握切线的判定定理，菱形的判定定理．
9．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接与,交点,由AD平分线，OA =OD，可得OD∥AC，由DE⊥AC，可知DE⊥OD，可证EF是切线；
（2）⊙O是的外接圆，是直径．可得，可证四边形是矩形．，由垂经定理知CM=BM，由中位线得OM=AC=2，则AO=BO=DO=4，在中，求，利用弧长公式求BD弧长即可．
【解析】（1）证明：连接与,交点，
，
∵的平分线交⊙O于点，
∴，
∵是⊙O的直，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴与⊙O相切于点．
（2）解：∵⊙O是的外接圆，是直径，
∴，，
由（1）得，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
【点评】本题考查切线的证明与弧长问题，掌握有切点连半径证垂直，利用RT△OMB的边关系求出∠MOB是关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据OD⊥AC，得到∠1+∠2=90°，再用同弧所对的圆周角相等得到∠1=∠BFC，然后等量代换得到∠OAD=90°，从而证得AD是⊙O的切线；
（2）利用垂径定理求得AE的长，利用勾股定理求得OE的长，证明△OAE∽△ODA，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AD的长．
【解析】（1）∵OD⊥AC于点E，

∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD于点A，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=16，
∴AE＝EC=AC=8，
∴OE=，
∵∠D =∠1，∠OEA=∠OAD=90°，
∴Rt△OAE∽Rt△ODA，
∴，即，
∴AD=．
【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及垂径定理，三角形相似的判定和性质．熟记有关的性质定理是解题关键．注意掌握数形结合思想的应用．
11．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到△PEO≌△PFO，得到OF=OE，即可确定出PN与圆O相切；
（2）在Rt△POE中，由∠MPC=30°，PE=，得到∠EOP=60°，OE=2，∠EOB=120°，利用弧长公式即可求出劣弧的长．
【解析】解：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，
∵PM与圆O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∵PC平分∠MPN，
∴∠EPO=∠FPO，
在△PEO和△PFO中，
∵∠EPO=∠FPO，∠OEP=∠OFP，OP=OP，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴OF=OE，则PN与圆O相切；
（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=，
∴∠EOP=60°，OE=2，
∴∠EOB=120°，
则的长l==．

考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．

12．（1证明见解析；（2）2.
【分析】（1）连接OD，要证明DC是 O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是 O的切线；
（2）连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．
【解析】解：（1）证明：连接OD.

∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO.
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD.
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC(SAS)，
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是O的切线；
（2）连接BD.
∵在△ADB与△ODC中,

∴△ADB∽△ODC，
∴AD:OD=AB:OC，
∴AD⋅OC=OD⋅AB=r⋅2r=2r²,即2r²=8，
故r=2．
13．（1）见解析；（2）
【分析】（1）如图，连接OA，先由等腰三角形的性质证明∠OAD＝∠ODA，再由直径所对的圆周角为直角得出∠BAD＝90°，然后利用等量代换及互余关系证明∠OAC＝90°，则结论得证；
（2）先由勾股定理求得AB的长，则可知AC的长，再证明∠C＝30°，然后由三角函数的定义得出等式，解出OA的值，即为半径的值．
【解析】解：（1）证明：如图，连接OA．

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ABC＝∠DAC
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ODA＝90°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥CA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线．
（2）在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
∴AC＝AB＝3．
∵∠AOD＝2∠ABC，∠ABC＝∠C，
∴∠AOD＝2∠ACB，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOD+∠ACB＝90°，
∴∠C＝30°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，
∴tanC＝，
∴OA＝AC•tanC
＝3tan30°
＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆的综合问题，数形结合思维、等腰三角形与直角三角形、直线与圆有关的位置关系、与圆有关的计算、解直角三角形及其应用，是中考常考题型．
14．（1）相切，理由见解析；（2）见解析.
【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的判定即可求证答案；
（2）易证△BCD∽△ACB，从而，即BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=BC，所以4DE2=CD•AC，从而可证明2DE2=CD•OE；
【解析】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角定理等知识，需要学生灵活运用所学知识．
15．（1）直线BC与⊙O相切，证明过程见解析;（2）．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠CAD=∠ODA，进而得出，根据平行线的性质即可得出∠ODB=∠C=90°，则可证明直线BC与⊙O相切；
（2）首先根据可得出△BDO∽△BCA，进而有，从而求出BE的长度，然后利用勾股定理即可求出BD的长度．
【解析】解：（1）直线BC与⊙O相切，证明如下：
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．

（2）由（1）知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴
∵⊙O的半径为2，
∴DO=OE=2，AE=4．
∴．
∴BE=2．
∴BO=4，
∴在Rt△BDO中，．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质和勾股定理是解题的关键．
16．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）如下图，连接OB，证OB∥EC，从而得出OB⊥AE，故而得证；
（2）证△OAB∽△CAE，从而得出用x表示AE的长，利用AE=8解得x即可．
【解析】（1）连结

在中，，
．
平分，
．

．
，
．
．
是的切线．
（2）如下图

∵
∴设AB=4x，则AO=5x
∴在Rt△OAB中，OB=3x
∴OC=3x，AC=8x
∵∠OBA=∠CEA=90°，∠A=∠A
∴△OAB∽△CAE
∴，解得：AE=
∴，解得：x=
∴圆的半径r=3x=
【点评】本题考查证圆的切线、利用相似求解，还用到了三角函数的知识，解题关键是证明出OB⊥AE．
17．（1）见解析；（2）．
【分析】连接根据OD=OC，AB=AC，证得，得到OD∥AB，根据EF⊥AB即可得到OD⊥EF，由此得到结论；
设，则，证明△FOD∽△FAE，求出r，即可得到AC.
【解析】连接



，


是的切线；
设，则，


，即
解得，
则.
【点评】此题考查圆的切线的判定定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质.
18．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接NO，过点O作OE⊥AC于点E，由 可得∠ABC=∠ACB，结合，证明利用角平分线的性质可得NO=EO，则结论得证；
（2）过点M作MF⊥BC于点F，连结OM，ON，证得BM=BN=BC，设BC=a，CF=b，则MF=b，BF=a-b，BM=a，可得，解方程得b=，可求出答案．
【解析】（1）证明：如图1，连接NO，过点O作OE⊥AC于点E，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵⊙O分别切AB于M，BC于N，
∠ABO＝∠CBO，


∴
∵ON⊥BC，OE⊥AC，
∴NO＝EO，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点M作MF⊥BC于点F，连结OM，ON，

∵OM＝ON，OB＝OB，
∴Rt△BOM≌Rt△BON（HL），
∴BM＝BN，
∵OB＝OC，ON⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，
∴
∵
∴，
∴，
设BC＝a，CF＝b，则MF＝，BF＝a﹣b，BM＝，
∵
∴，
解得b＝或b＝a（舍去）．
∴
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易证∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，从而可证直线BC是⊙O的切线；
（2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出∠AOD的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【解析】解：（1）连接，
∵平分，∴，
，∴，
∴，
∴∥
∵，∴，∴，
∴直线是⊙O的切线；
（2）由，，，
∴，，，
，
∵，∴，
∴，
由，得，
∴

．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识．
20．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．
【解析】解：证明：连接

为直径

又．
又

，

是的切线．
解：

为等边三角形
，

，
；


【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．