2023年中考数学高频考点突破——圆的综合附答案 (2)

这是一份2023年中考数学高频考点突破——圆的综合附答案 (2)，共36页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——圆的综合附答案
1．如图，已知ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．






2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点E．

(1)求证：；
(2)若，求线段CE的长．




3．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．

(1)四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
(2)若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．






4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．








5．如图，直角ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，点P在弧AB上移动，P，C分别位于AB的异侧（P不与A，B重合），PCD也为直角三角形，∠PCD=90°，且直角PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E．

(1)当BA平分∠PBC时，求的值；
(2)已知：AC=1，BC=2，求PCD面积的最大值．






6．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使CG=AC，连接DG，点E在DG边上，并且∠ADG=2∠GCE．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AG=8，OA=5，求EG的长．






7．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．

(1)求BD的长；
(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．






8．如图，已知圆内接四边形ABCD，AB∥DC．

(1)求证：AD＝BC；
(2)当圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于圆心O时，判断四边形ABCD的形状，并写出判断过程．










9．如图，AB是的直径，点C为上一点，PC切于点C，交PC的延长线于点E，AE交于点D，PC与AB的延长线相交于点P，连结AC、BC．

(1)求证：AC平分；
(2)若，，求AB的长．






10．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，BE=4，求线段的长．







11．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．

(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．







12．如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．

(1)求∠E的度数；
(2)当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．




13．如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，．

(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．






14．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长．









15．如图，点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．请你仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在图1中作出∠BAC的平分线；
（2）连接EF，在图2中的线段EF上作一点P使AP将△AEF分成面积相等的两部分．






16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．







17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．







18．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点F．
（1）求证：DF=BF
（2）若AC=6，⊙O的半径为5，求BD的长．


参考答案：
1．(1)见解析
(2)15，

【分析】(1)连接OE，根据AE平分∠CAB，OA=OE，∠BEF＝∠CAE，证明∠BEF+∠OEB=90°即可．
(2)证明△FEB∽△FAE，列比例式计算AB，计算AE：BE，利用勾股定理确定AE，BE的长；证明△EBD∽△EAB，计算DE的长，利用AD=AE-DE计算即可．
（1）
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵OA=OE，

∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠CAE=∠OAE＝∠OEA，
∵AB是圆的直径，
∴∠OEA+∠OEB=90°，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴EO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
（2）
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠EAF＝∠OEA，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠EAF，
∵∠F＝∠F，
∴△FEB∽△FAE，
∴，
∵BF＝10，EF＝20，
∴，
解得AB=30，
∴圆的半径为15；
∵△FEB∽△FAE，
∴，
设BE=x，则AE=2x，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°，
∴，
解得x=，
则AE=；
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠EBD＝∠EAB，
∵∠DEB＝∠BEA，
∴△EBD∽△EAB，
∴，
∴，
∴=，
∴AD=AE-DE=-=．
【点评】本题考查了圆的切线，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握圆的切线的判定，灵活运用三角形相似的判定定理是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE=90°，由圆周角定理可得∠AOC=90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD=4，可证四边形OAFC是正方形，可得CF=AF=2，由锐角三角函数可求EF=，即可求解．
(1)
连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOC+∠OCE=180°，
∴AD∥EC．
(2)
如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC=75°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=60°，
∴∠D=∠ACB=60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴sin∠ADB=，
∴，
∵AF⊥EC，∠OCE=90°，∠AOC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA=OC=2，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF=AF=2，
∵∠BAD=90°-∠D=30°，
∴∠EAF=180°-90°-30°=60°，
∵tan∠EAF=，
∴，
∴CE=CF+EF=．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
3．(1)正方形，理由见解析
(2)2

【分析】（1）根据⊙I是Rt△ABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IE=IF，可得结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长．
【解析】（1）解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC=∠IFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE=IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴，
由切线长定理可知： AE=AD，BD=BF，CE=CF，
设半径IE的长为x，则CE=CF=x，
∴AE=AD=8-x，BD=BF=6-x，
∴（8-x）+（6-x）=10， 解得x=2，
∴IE的长为2．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质．
4．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明OD//AC，可得OD⊥DF，即可证得结论；
（2）根据外角的性质可得：∠EAB=∠B+∠C= 60°，可得圆心角∠EOB= 2∠EAB= 120°，然后根据弧长公式可求得结果．
【解析】（1）解：证明：如图，连接OD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD// AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
DF为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，

∵∠B=∠C=30°，
∴∠EAB=∠B+∠C=60°，
∴∠EOB=2∠EAB=120°，
∴的长=．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等．
5．(1)
(2)S△PCD最大=

【分析】
（1）根据角平分线定义得出∠PBA=∠CBA，根据垂径定理得出AB⊥PC，PE=CE，,根据圆周角相等所对弧等，弧等所对弦等得出PB=CB,再证CB=DB=PB，得出BE为△PCD的中位线即可；
（2）根据三角函数定义和勾股定理可得tan∠A=，AB=，根据同弧所对圆周角相等得出tan∠P= ，可得CD=2PC，把PCD的面积转化为S△PCD=，
当CP为⊙O的直径时，△PCD面积最大即可．
【解析】（1）
解：∵BA平分∠PBC，
∴∠PBA=∠CBA，
∴，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴AB⊥PC，PE=CE，，
∴PB=CB，
∴∠P=∠BCP，
∵∠PCD=90°，
∴∠P+∠D=∠BCP+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠D，
∴CB=DB=PB，
∴BE为△PCD的中位线，
∴，
∴；

（2）
解：∵AC=1，BC=2，∠ACB=90°，
∴tan∠A=，AB=，
∵∠P=∠A，∠PCD=90°，
∴tan∠P= ，
∴CD=2PC，
∴S△PCD=，
∴当PC为⊙O的直径时，△PCD面积最大，
∴PC=，S△PCD最大=．

【点评】
本题考查垂径定理，直角所对的弦为直径，三角形中位线判定与性质，锐角三角函数，与三角形高有关的计算，掌握垂径定理，直角所对的弦为直径，三角形中位线判定与性质，锐角三角函数，与三角形高有关的计算是解题关键．
6．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由等边对等角和三角形外角的定义可得∠AOC=2∠B，由等量代换得∠B=∠GCE，由直径所对的角是90°得∠B+∠ACB=90°，等量代换∠GCE+∠ACB=90°，由此∠BCE=90°，即可得证；
（2）先证△GCE∽△CBA，由相似三角形对应边成比例即可求解.
【解析】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AOC=2∠B，
又∵OA=OD，AC=CG，
∴OC∥DG，
∴∠ADG=∠AOC，
又∵∠ADG=2∠GCE，
∴2∠B=2∠GCE，
∴∠B=∠GCE，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠GCE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
即BC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：由（1）可知：OC∥DG，∠BCE=90°，
∴∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAC，
∵∠GCE=∠B，
∴△GCE∽△CBA，
∴，
∵AG=8，CG=AC，
∴CG=AC=4，
∴，
∴.
【点评】此题考查圆的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键.
7．(1)
(2)

【分析】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AB和AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；
（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．
【解析】（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：

∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵AB•AC＝BC•AH，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵AH⊥BD，
∴BH＝HD＝，
∴BD＝；
（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：

由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，
∵AH•CD＝DM•AC，
∴DM＝＝＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝．
【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
8．(1)见解析
(2)矩形，见解析

【分析】（1）连接AC，根据平行线的性质得出∠ACD＝∠BAC，再推出，再推出答案即可；
（2）根据圆周角定理得出∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，再根据矩形的判定得出即可．
【解析】（1）证明：连接AC，

∵ABCD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴，
∴AD＝BC；
（2）解：四边形ABCD是矩形，

理由是：∵对角线AC和BD交于O，O是圆心，
∴AC和BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
9．(1)证明过程见解析．
(2)12．

【分析】（1）先证明AE∥OC，然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO，接下来由∠ACO=∠AOC，可证明∠EAC=∠OAC；
（2）先证明∠PCB=∠PAC，从而可证明△PCA∽△PBC，依据相似三角形的性质可求得PA的长，最后依据AB=PA-PB求解即可．
（1）
解：（1）如图所示：连接OC．

∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥EP．
又∵AE⊥PC，
∴AE∥OC．
∴∠EAC=∠ACO．
又∵∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC平分∠BAD；
（2）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴，
∴PA==16．
∴AB=PA-PB=16-4=12．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理．
10．(1)见解析
(2)CD的长为．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCB=∠OBC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出∠DCO=90°，则可得出结论；
（2）设OA=OB=2x,OD=3x,证明△DCO∽△DEB,由相似三角形的性质得出，求出OC的长,则可求出答案．
【解析】（1）证明：连接OC，

∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=∠DCA，
∴∠OCB=∠DCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=90°，
即∠DCO=90°，
∴DC⊥OC，
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵，且OA=OB，
设OA=OB=2x,OD=3x，
∴DB=OD+OB=5x，
∴，
又∵BE⊥DC,DC⊥OC，
∴OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，
∵BE=4，
∴OC=，
∴2x=，
∴x=，
∴OD=3x=，
∴CD=，
即CD的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．(1)60°
(2)cm2

【分析】（1）根据垂径定理得到，得到，再根据圆周角定理即可解答；
（2）先根据垂径定理求出，再运用勾股定理求出，然后求得∠BOC，最后运用扇形的面积公式计算即可．
【解析】（1）解： ，
∴，
，
由圆周角定理得，，
；
（2）解：，
，
在中，，
∴∠OBE=30°
设OB=2x，则OE=x
∴（OB）2=OE2+BE2,即：（2x）2=x2+BE2，解得：x=8
∵
∴∠BOC=
∴扇形BOC的面积为cm2．
【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，掌握垂径定理和扇形的面积公式是解答本题的关键．
12．(1)30°
(2)见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠A=30°，再根据圆周角定理，即可求解；
（2）连接CM，CE，根据直径所对的圆周角是直角可得CM∥BE，从而得到∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，再由∠ACB=75°，可得∠CBF=15°，从而得到∠BAM=∠DCM=15°，进而得到∠CAM=∠BAM，再根据垂径定理可得BD=CD，进而证得△BDG≌△CDM，即可求证．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠ACB＝75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，
∵∠E=∠A，
∴∠E=30°；
（2）证明：如图，连接CM，CE，

∵AM是圆O的直径，
∴∠ACM=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=∠ACM=90°，
∴CM∥BE，
∴∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，
∵∠ACB=75°，
∴∠CBF=15°，
∴∠DCM=15°，
∴∠BAM=∠DCM=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAM=15°，
∴∠CAM=∠BAM，
∴ ，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDM中，
∵∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，BD=CD，
∴△BDG≌△CDM，
∴DG=DM，即D为GM中点．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接OE，由，可证明．再由矩形的性质可推出．根据圆的基本性质得出，即可求出，从而可求出，即证明BE为⊙O的切线；
（2）由题意可推断点E为矩形ABCD对角线的交点，即可证明，推出为等边三角形，从而可求出．再利用含角的直角三角形的性质即可求出，进而求出，还可根据勾股定理可求出的长，即BC的长，最后根据矩形的面积公式计算即可．
【解析】（1）如图，连接OE．

∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
（2）∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点评】本题考查切线的判定，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
14．（1）见解析；（2）26
【分析】（1）由C是的中点，可推出∠BAC=∠DBC，由CF=BF，可得∠FBC=∠BCF，则∠BAC=∠BCF，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，则∠ACF+∠BAC=90°，即可推出∠AEC=90°，即CE⊥AB；
（2）连接OC，设⊙O的半径为， 则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，由（1）知，∠OEC=90°，则在Rt△OCE中，，，由此求解即可．
【解析】解：（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DBC，
∵CF=BF，
∴∠FBC=∠BCF，
∴∠BAC=∠BCF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠AEC=90°，即CE⊥AB；
（2）连接OC，
设⊙O的半径为， 则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，
由（1）知，∠OEC=90°，
∴在Rt△OCE中，，
∴，
解得=13，
∴AB=26．

【点评】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等弧所对的圆周角相等．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接，根据切线的性质可知，由于，得到，则，根据，得出，则，即是∠BAC的平分线；
（2）根据题意作，边上的中线即可，连接交与点，连接，根据圆周角定理可得，得到，则是的中位线，即为的中点，则是的中线．
【解析】解：（1）如图1，即为所求；
（2）如图2，即为所求．

【点评】本题考查了圆切线的性质，圆周角定理，三角形中位线，三角形中线，熟练掌握图形的基本性质定理是解本题的关键．
16．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD、CD、OE，通过全等三角形的性质求解即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长，利用相似三角形的性质求得的长，再用勾股定理求解即可．
【解析】（1）DE与⊙O相切，连接OD、CD、OE

∵BC为⊙O的直径
∴∠CDA＝∠CDB＝90°
∵E是AC中点
∴ED＝EC
∵OC＝OD，OE＝OE
∴ΔOCE≌ΔODE（HL）
∴∠ODE＝∠OCE＝90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6
∴AC=8，
∵E是AC中点，为的中点
∴，
由勾股定理可得：
∵DE、CE与⊙O相切
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO
又∵
∴垂直平分
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
【点评】此题考查了圆切线的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用有关性质进行求解．
17．（1）见解析；（2）18
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC= BM2=18．
【解析】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∵AB＝6，
∴BM＝ABsin45°==，
∴MN•MC＝BM2＝18．

【点评】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AD，由题意易得，则有，然后可得，由点D为的中点可知，最后问题可求解；
（2）连接OD，交BC于点H，由题意易得BC=8，然后根据垂径定理可知BH=4，OH=3，进而可得DH=2，最后根据勾股定理可求解．
【解析】（1）证明：连接AD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，，
∴，
∴DF=BF；
（2）连接OD，交BC于点H，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵AC=6，⊙O的半径为5，即，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△BHD中，由勾股定理可知：．
【点评】本题主要考查垂径定理、圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆周角的性质及勾股定理是解题的关键．