2021-2022学年宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

  银川一中2021/2022学年度(下)高二期中考试

数学(理科)试卷

一、单选题（每题5分，共60分）

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用组合数公式可求得结果.

【详解】.

故选：D.

2. 已知随机变量服从正态分布，且，则

A  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．

详解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，

又由，则，

则，故选A．

点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．

3. 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为（    ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法，令，，两式相加即可求解.

【详解】，

令，,

令,

相加可得

故选：B.

【点睛】本题考查了赋值法求部分项系数和问题，属于基础题.

4. 的展开式中的系数为（    ）

A. 40 B. 40 C. 80 D. 80

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.

【详解】对二项式，其通项公式为

的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和，

令，可得的系数为；

令，可得的系数为；

故的展开式中的系数为.

故选：A

5. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】按照独立重复试验的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意连续测试3次，其中恰有1次通过的概率；

故选：B

6. 将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】由()k()5-k=()k+1·()5-k-1,即=,故k+(k+1)=5,即k=2.

7. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】

【分析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．

详解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），

∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），

∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，

∴a﹣5+a+1=8，

∴2a=12，

∴a=6，

故选:B．

点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

8. 设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ≤3)等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由及二项分布的概率公式即可求解.

【详解】

.

故选：A

【点睛】本题考查二项分布及其概率求解，属于基础题.

9. 已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为

A. 100，0.8 B. 20，0.4

C. 10，0.2 D. 10，0.8

【9题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可得解得p＝0.2，n＝10.故选C.

考点：二项分布期望与方差.

10. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（    ）

A.  B.

C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用古典概型求出第一次摸到正品的概率以及两次都摸到正品的概率，然后利用条件概率计算公式求出结果.

【详解】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，

则P(A)＝，P(AB)＝.故P(B|A)＝.

故选：D

【点睛】本题考查条件概率的求法，考查古典概型的概率计算公式，属于中档题.

11. 已知函数，连续抛掷两颗骰子得到点数分别是，则函数在处取得最值的概率是

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：，其对称轴方程为即，抛掷两颗骰子得到的点数一共有共种等可能出现的情况，其中满足的有共种情况，所以其概率为，故选C.

考点：古典概型.

【方法点晴】本题主要考查了古典概型、二次函数的最值及导数的运算问题，属于中档题.本题先通过求导得到要研究的二次函数，结合二次函数的性质找到处取得最值满足的条件.因为连续抛掷两颗骰子，研究得到的点数情况满足有限性和等可能性，所以属于古典概型，列举出所有可能的基本事件空间，找出满足条件的基本事件，即得所求的概率.

12. 若 ,则

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设，故选B．

考点：定积分．

二、填空题(每题5分，共20分)

13. 、、、、五人并排站成一排，如果、必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有________种.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】将、捆绑形成一个大元素，与其他三个元素形成四个元素，由于在的右边，大元素内部顺序已定，然后利用全排可计算出排法种数.

【详解】由于、必须相邻且在的右边，那么将、捆绑形成一个大元素，内部顺序已定，

大元素与其他三个元素形成四个元素，因此，不同的排法种数有种.

故答案为：.

【点睛】本题考查排列问题，在处理相邻问题时，一般利用捆绑法来处理，将相邻的元素捆绑成一个大元素，但需注意大元素内部元素的顺序，考查计算能力，属于中等题.

14. 已知随机变量，随机变量，则__________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：根据二项分布的数学期望及其性质，可得，.

考点：二项分布的数学期望及其性质.

15. 由与直线所围成图形的面积为____．

【15题答案】

【答案】9

【解析】

【详解】试题分析：由得或，形成图形如阴影所示，

选择y为积分变量，则，所以．

考点：定积分的应用．

16. 随机变量的概率分布为

且，则________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】利用离散型随机变量及其分布列的概率和为1，求出的值，根据期望，求出的值，再根据方差的公式，即可求出结果.

【详解】由，得，

∵，

∴，得，

∴.

故答案为：.

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 设离散型随机变量服从正态分布X～N(0，1)，

（1）求P(X≤0)值；

（2）求P(－2<X≤2)值

参考数据：

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据正态分布密度曲线关于对称的性质求解；(2)根据的取值，结合所提供的参考值求解.

【小问1详解】

因为正态分布，所以

其密度曲线的对称轴为，

所以；

【小问2详解】

.

18. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，24位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：

上表数据表示变量y与x的相关关系．

（1）画出样本的散点图，并说明物理分数y与数学分数x之间是正相关还是负相关；

（2）求y与x的线性回归直线方程(系数精确到0.01)，并指出某学生数学83分，物理约为多少分(精确到1分)?

参考公式：回归直线的方程是：，其中，．

参考数据：，，，.

【18题答案】

【答案】（1）散点图见解析，正相关   

（2），物理约为89分

【解析】

【分析】（1）由数据画出散点图，进而判断是正相关还是负相关；

（2）根据公式可求得回归直线的方程，再将代入可得物理的分数.

【小问1详解】

画样本散点图如下：

由图可知：物理分数y与数学分数x之间是正相关关系．

【小问2详解】

从散点图中可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此利用已知数据及公式计算得，，

由，，得

所以回归直线方程为，

当时，

因此某学生数学83分时，物理约为89分．

19. 新闻媒体为了了解观众对央视某节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”？

参考附表：

(参考公式：，其中)

【19题答案】

【答案】有99%的把握

【解析】

【分析】根据列联表中数据求得，参考附表分析即可.

【详解】分析列联表中数据，可得

，所以有99%的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．

20. 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班，公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段，，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.

（1）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；

（2）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求的分布列和数学期望和方差.

【20题答案】

【答案】（1）；（2）分布列见解析，，..

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图，分别求得在和的频数，然后再求概率.

（2）根据频率分布直方图得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望与方差.

【详解】（1）依题意，培训时间在小时的人数为，

在小时的人数为，

故满足题意的概率估计为.

（2）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

则随机变量的分布列为

∵，

∴，.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的的分布列的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21. 为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）分布列见解析，，.

【解析】

【分析】

（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.

【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，

两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，

两人都付元的概率为.

则两人所付费用相同的概率为；

（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，

则，，

，，

.

所以，随机变量的分布列为

.

.

【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

22. 已知圆和圆的极坐标方程分别为，．

（1）求两圆的直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

【22题答案】

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）将两边同时平方得，将展开得后整理得：，再将，，代入两个极坐标方程即可得直角坐标方程；

（2）将两个圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线的直角坐标方程，再将，代入即可得极坐标方程.

【详解】（1）由得，因为，

所以圆直角坐标方程为，

由得，

即，

因为，，所以，

所以圆的直角坐标方程为，

（2）两个圆的直角坐标方程相减得：，

即，转化为极坐标方程为：，

即，

所以过两圆交点的直线的极坐标方程为：