特训01 实数 压轴题-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训01 实数 压轴题

一、解答题

1．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．

(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．

(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．

(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．

(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．

2．（2023春·上海·七年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．

对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．

例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．

（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；

（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．

（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．

3．（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：

我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：

（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数

（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．

猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．

（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．

（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？

4．（2023春·上海·七年级专题练习）【阅读材料】

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

第一步：∵，，，

∴．

∴能确定59319的立方根是个两位数．

第二步：∵59319的个位数是9，

∴能确定59319的立方根的个位数是9．

第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，

而，则，可得，

由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

【解答问题】

根据上面材料，解答下面的问题

（1）求110592的立方根，写出步骤．

（2）填空：__________．

5．（2023春·上海·七年级专题练习）对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为 a的根整数.如{}=4.

(1)计算{}=？

(2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值；

(3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数，        次后结果为2.

6．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：，，求的值.

7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）观察下列等式：；

；

；

……

(1)【观察猜想】根据以上规律归纳出：

①______________．（不填中间式子）

②_______________．（不填中间式子）

(2)【论证猜想】请证明②这个等式．

(3)【拓展运用】根据以上规律，求的值．

8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：

面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5

(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．

9．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有

，，，

，成立，且．

(1)求，的值；

(2)猜想第个数（用表示）；

(3)求的值．

10．（2020秋·四川攀枝花·八年级校考阶段练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：

（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值；

（2）已知，其中是一个整数，，求．

11．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】

如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　；

【找一找】

如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　  是这个数轴的原点；

【画一画】

如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

【用一用】

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．

①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；

②写出a、m的数量关系：　 　．

12．（2019春·七年级课时练习）已知，求下列各式的值:

，

13．（2023春·上海·七年级专题练习）如果，求的值．

14．（2023春·七年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：

①，又，

，∴能确定59319的立方根是个两位数．

②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．

③如果划去59319后面的三位319得到数59，

而，则，可得，

由此能确定59319的立方根的十位数是3

因此59319的立方根是39．

（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．

①它的立方根是_______位数．

②它的立方根的个位数是_______．

③它的立方根的十位数是__________．

④195112的立方根是________．

（2）请直接填写结果：

①________．

②________．

15．（2020春·福建厦门·七年级厦门市华侨中学校考阶段练习）阅读下列材料：

我们可以通过下列步骤估计的大小．

第一步：因为12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．

第二步：通过取1和2的平均数缩小所在的范围：取，

因为1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．

（1）请仿照第一步，通过运算，确定界于哪两个相邻的整数之间？

（2）在1＜＜1.5的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至m＜＜n，使得n－m=．

16．（2018春·山西·七年级统考阶段练习）阅读理解，回答问题.

我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题：

（1）的小数部分是         ；

（2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分.

①的取值范围是         ；

②当是5的倍数时，求的值.

17．（2019秋·江苏泰州·七年级校考期中）下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：

．

（1）观察发现：__________          ．

（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即       ；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即       ；

（ 3 ）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值．

18．（2021春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：＜＜，即2＜＜3，

∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）

请解答：

（1）整数部分是　   　，小数部分是　   　．

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．

（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

19．（2020秋·北京海淀·七年级统考期末）给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.

根据以上材料，解决下列问题:

(1)的值为______ ，的值为_          

(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.

①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；

②与“模二相加不变”的两位数有______个

20．（2020秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值.例如，对于数列2，-1，3，因为，，，所以数列2，-1，3的价值为.

小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列-1，2，3的价值为；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.根据以上材料，回答下列问题：

(1)数列4，3，-2的价值为______.

(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过程并作答).

(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______ (直接写出答案).

21．（2021秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．

(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．

(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．

(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．

22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下面文字，然后回答问题．

给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，．

(1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________．

(2)已知，其中m是整数，且，求的值；

(3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值．

23．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）动手试一试：

图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．

基础巩固：

(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积为          ，边AD的长为          ；

(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，则点E表示的数是          ；

(3)变式拓展：图3是由25个边长均为1的小正方形组成的图形，

①你能从中剪出一个面积为13的大正方形（大正方形的顶点都在小正方形的顶点上）吗？若能，请在图中画出示意图；若不能，请说明理由；

②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．