2023年中考复习 实验操作型 练习

2023年中考专题复习二  实验操作型

题型特点：

实验操作题是指通过具体动手操作对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索和解决的一类问题，这类问题具有较强实践性与思维性，能够有效考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力、发散思维能力等综合素质．实验操作题就其操作过程的形式而言，有折叠与剪拼、平移与旋转等多种变换操作．在操作中观察、探索、发现，手脑并用是这类题的基本特征，让学生在动手做的过程中体验数学结论与规律的发现过程，亲自体验问题情境，研究问题情趣，感悟数学奥妙是这类问题存在的空间．

   实验操作题能更好地促进学生对数学的理解，帮助他们提高用数学的语言、符号进行表达交流的能力．学生经历“数学化” 和“再创造”的过程，能不断提高自己的创新意识和综合能力，近年来备受中考命题者的青睐 。

考查的题型有 折叠剪切问题分割图形问题 拼合图形问题图形的几何变换问题。

解题策略解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．

典例剖析

 类型一：拼合图形问题

例1.如图，长方形，由四块小长方形拼成四块小长方形放置是既不重叠，也没有空隙，其中两块长方形完全一样，如果要求出两块长方形的周长之和，则只要知道   

A. 长方形的周长 B. 长方形的周长
C. 的长 D. 的长

解：设的长为，的长为，长方形的长为，宽为，由题意可得

两块长方形的周长之和是  

例2.  在学校温暖课程数字兴趣课中，雷雷同学将一个边长为的正方形纸片如图剪去两个相同小长方形，得到一个“”的图案如图，再将剪下的两个小长方形刚好拼成一个“”字形如图，则“”字形的外围周长不包括虚线部分可表示为

A.  B.  C.  D.

解：根据题意得：新矩形的长为，宽为，
则新矩形周长为，

例3.如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线，剪开，拼成如图所示的，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且的面积为，则正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

解：如图，设，正方形的边长为．

由题意：，
，
正方形的面积，
故选：．
例4.如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是

A.  B.
C.  D.

解：第三个图形是三角形，
将第三个图形展开，可得，

即可排除答案D，
再展开可知两个短边正对着，
选择答案A，排除与．
[变式训练]

1. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形不重叠无缝隙，则长方形的周长是______．

【答案】

2. 如图，将一段标有均匀刻度的绳子铺平后折叠绳子无弹性，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳子分为，，三段若这三段的长度的比为，则折痕对应的刻度是___．

【答案】或或或

3. 如图，将的网格图剪去个小正方形后，图中还剩下个小正方形，为了使余下的部分小正方形之间至少要有一条边相连恰好能折成一个正方体，需要再剪去个小正方形，则应剪去的小正方形的编号是__________．

【答案】

类型二：折叠剪切问题

例1.（山东省）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形． 

将纸片展开，得到的图形是　(    )

解：易得剪去的四个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间，故选C

本题是折叠、裁减问题，折叠会体现对称，可以动手操作验证。

例2.（·泰州市）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全60部展开铺平后得到的平面图形一定是

A．正三角形     B．正方形     C．正五边形      D．正六边形

解：由第二个图形知，⦟AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角。那么所剪出的平面图形是360°60°=6。故得到的是正六边形。选D

例3.（•济南市）如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是　　　　　　　．

解：∵AE=EC  ⦟EAC=⦟ECA   ∵将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，

⦟BAE=⦟EAC⦟BAE=⦟EAC=⦟ECA ⦟ECA=30°  ∵AB=2AC=4

故答案为4

例4.（•重庆市）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是                .[来源:学科网ZXXK]

解：由折叠知：∠ADG=∠GDO根据外角定理∠AGD=∠GDO+∠GOD而∠GOD=90°，∠GDO = ∠ADO=22.5°得∠AGD=112.5°所以①正确。由折叠知△AGD≌△FGD得S△AGD=S△FGD所以③错误。∠AED=90°-22.5°=67.5°，∠AGE=45°+22.5°=67.5°故∠AED=∠AGE可得AE=AG，易证AG=FG，AE=EF，从而得AG=FG=AE=EF。所以④正确。BE=EF，EF= FG=OG，故BE=2OG所以⑤正确。AE= FG=OG，AD= AB=AE+ BE=（+2）OG，在Rt△AED中tan∠AED==，所以②错误。

【答案】①④⑤．

例5.如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：AD2=DP•PC；

（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值

解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，

∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AG•GB，

即AD2=DP•PC；

（2）∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由题意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易证四边形PMBN是平行四边形，

∴四边形PMBN是菱形；

（3）由于=，

可设DP=1，AD=2，

由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，

∵PG2=AG•GB，

∴4=1•GB，

∴GB=PC=4，

AB=AG+GB=5，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴==，

∴，

又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=

∴===

∴，

∴EF=AF﹣AE=AC﹣=AC，

∴==

 【变式训练】

如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于

A.

如图，已知中，，剪去后成四边形，则________；

根据与的求解过程，请你归纳猜想与的关系是______________．

【答案】解：；
；
．

【解析】

解：：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为，
．
等于；
故选C；
在中，，
则，
；
，
．
与的关系是：．
故答案为；；．

 类型 三：图形的几何变换

例1.如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕若矩形纸片的宽，则折痕的长为

A.  B.  C.  D.

4.  解：将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕，
   ，，．
   再一次折叠纸片，使点落在的处并使折痕经过点，得到折痕，
   ．
   在中，，
   ，
   ，
   ，
   ，
   ，
   ，
   ，
   设，则，
   ，
   即：，解得，
   ．
   故选：．
   例2.如图，长方形沿直线、折叠后，点和点分别落在直线上的点和点处，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

解：如图，

由折叠的性质知：，，
，
．
，
．  

故选B

5. 如图，将小正方形绕大正方形的顶点顺时针旋转一定的角度，连接、相交于，再连接、、小慧同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：；；；其中结论错误的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

解： 根据题意可知：，，
则，即
从而可证
所以，
故DE正确；


由中可知，
中，
又，，
所以，
所以，
所以，
故DE正确；


过点分别作、，垂足分别为、．
由中可知，即，
又
则
所以平分角，即，
故A正确；


过点作于点，过点作，交的延长线于点，可得：，且，即，
又，
所以，
又
可证：，
所以，
又因为
所以
即ABE，
故ABE=1：1正确.
故选A．  

【变式训练】

1.小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.

（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形？

（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形.

[来源:学科网]

解：（1）MB=MD

证明：∵AG的中点为M ∴在中，

在中，，∴=

（2）∵

同理

∴==

而

∴

∴当时，，此时△BMD为等腰直角三角形.

（3）当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD，[来源:Zxxk.Com]

故当时，△BMD为等边三角形.

3.如图，在梯形中，，，，梯形的高为，试问将梯形沿着方向平移____________厘米才能使平移后的梯形与原来的梯形重叠部分的面积为．

解：设将梯形向右平移得到梯形，
，
，，
，，
梯形的面积，
解得：．
故答案为．  

类型四：作图与测量

例1. 小明在研究矩形的时候，利用直尺和圆规作出了如图的图形，依据尺规作图的痕迹，可知的度数为

A.  B.  C.  D.

解：．
故选A．

例2.和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直

A.  B.
C.  D.

解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线或直线，
只要最短就行，
即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽．连结交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求．
易得四边形是平行四边形，则，即．
故选：．
 

例3下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
求作：直线，使．
作法：如图：
分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点、；
作直线，交于点；
作射线，在射线上截取与不重合，使得；
作直线．
直线就是所求作的平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明：连接．
，，
四边形是平行四边形______填推理依据．
______填推理依据．

解：证明：连接．
，，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行
平行四边形的对边平行．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行；平行四边形的对边平行．

例4.如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画以为斜边的等腰直角三角形；
在方格纸中画以为斜边的直角三角形，点在小正方形的顶点上，，连接，并直接写出线段的长．

解：由图可知，
，
，是等腰直角三角形，
故以为斜边的等腰直角三角形如右图所示，
由三角形的面积为，，
可知点到的距离为，
所画图形如右图所示，
则．

【变式训练】

．

1.在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母．
过点画线段的平行线；
过点画线段的垂线，垂足为；
点到线段的距离即线段______的长

解：如图所示，直线即为所求；
线段即为所求；
点到线段的距离即线段的长，