高考数学考前提分复习专题1-1集合五大考点与真题模拟题训练含解析

  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题1.1集合五大考点与真题模拟题训练

考点一：集合的基本概念

1．（2020·上海黄浦·格致中学高三月考）已知集合，若，则实数的值为________

【答案】

【分析】先由集合元素的互异性得，求的范围，然后由得，结合这两点求解本题．

【详解】因为，

所以由集合元素的互异性得，即且，

又，则，解之得（舍去），或．

故答案为：．

【点睛】本题考查元素与集合间的关系，容易忽略集合元素的互异性的验证，属于基础题．

考点二：集合间的基本关系

1．（2020·上海）已知集合，，则集合B的子集个数为________．

【答案】4

【分析】根据定义先确定B中元素，再根据元素个数确定子集个数.

【详解】因为，，

所以，因此集合B的子集个数为，

故答案为：4

【点睛】本题考查集合子集的个数，考查基本分析求解能力，属基础题.4.

2．（2020·上海市崇明中学高三期中）已知集合，集合，若，则实数_____________.

【答案】

【分析】根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．

【详解】解：由，，
∴．解得，
验证可得符合集合元素的互异性，
故答案为：．

【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．

考点三：  集合的基本运算

1．（2020·上海崇明·高三月考）集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】求解方程组,可得选项.

【详解】由解得或，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的描述法表示和集合的交集运算，属于基础题.

2．（2020·上海南汇中学高三期中）已知集合，则__________.

【答案】

【分析】由交集的定义运算即可得解.

【详解】因为集合，

所以.

故答案为：.

3．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）己知集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，则A∪B=_________.

【答案】

【分析】直接利用并集的运算求解.

【详解】因为集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，

所以A∪B={x|-2<x<3}，

故答案为：

4．（2020·上海市崇明中学高三期中）设集合，集合，则___________.

【答案】

【分析】根据集合，集合，直接求并集即可.

【详解】由集合，集合，

则.

故答案为：

5．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知集合，，则________

【答案】

【分析】先化简求出集合，再根据交集的运算，即可求出.

【详解】解：由题可知，，

而，

所以.

故答案为：.

6．（2020·上海市控江中学高三月考）设集合，，则________．

【答案】

【分析】直接计算交集得到答案.

【详解】，，则

故答案为：.

【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.

考点四：  充分条件与必要条件的判断

1．（2020·上海市新场中学高三月考）已知两内角的对边边长分别为，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】C

【分析】由已知，、相互都有推出关系，根据充要性的定义即可知正确选项.

【详解】∵为两内角且对应边的边长分别为，

∴当时，有，即，

当时，有，又，有，所以；

综上知：“”是“”的充要条件.

故答案为：C

【点睛】本题考查了应用定义法判断结论是否为充要条件，属于简单题.

2．（2020·上海浦东新·华师大二附中高三月考）设，“”的一个充分条件是（    ）

A． B． C． D．且

【答案】C

【分析】举例说明ABD推不出，再证明C推出.

【详解】时，满足，但，所以A错；

时，满足，但，所以B错；

时，满足且，但，所以D错；

时，

故选：C

【点睛】本题充分条件判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

3．（2020·徐汇·上海中学高三其他模拟）“”是“”的（    ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断两个命题：和的真假即可得．

【详解】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，，故必要性成立.

故选：B.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题和的真假．

4．（2020·上海浦东新·高三月考）“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充要关系定义进行判断选择.

【详解】若，则，所以充分性成立；

若，则不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立；

故选：A

【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

考点五：充分条件、必要条件的应用　

1．（2020·上海市崇明中学高三期中）（1）已知是实数，集合，.求证：“”是“”的充要条件.

（2）设.用反证法证明命题“若，则或.”

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）证充分性，即证)；.证必要性即证求解.

（2）先假设且，再利用不等式的基本性质运算，推出矛盾即可.

【详解】（1）先证充分性：当时，.

又因为，所以

再证必要性：当时，

由，得，

因此.

综上所述，“”是“”的充要条件.

（2）假设且，则，这与已知条件矛盾.

所以假设不成立，即或.

2．（2020·宝山·上海交大附中高三月考）若对一切满足定义的x成立，则函数关于点中心对称.对于函数，试回答下面几个问题：

（1）求函数的对称中心：

（2）当时，求方程：的所有解；

（3）对于等差数列，记前n项和，的前n项和，试判断：“”是“”成立的什么条件，并证明.

【答案】（1）；（2）当时，该方程有唯一解；当时，方程无解；（3）充要条件；证明见解析.

【分析】（1）根据对一切满足定义的x成立，则函数关于点中心对称求解.

（2）将转化为，分和 ，研究函数的值域即可.

（3）利用等差数列的前n项和公式和逻辑条件的定义求解.

【详解】（1），

，

，

所以，

解得，

所以函数的对称中心是；

（2）方程：转化为，

当时，，因为，所以，

所以方程：有一解；

当时，因为，所以，

所以，

而，

所以方程方程：无解；

（3）由等差数列，，

所以，

，

所以，

，

，

，故充分；，

以上可逆，故必要，

所以“”是“”成立的充要条件.

【点睛】本题主要考查函数的对称性，方程的根与函数的零点以及等差数列的前n项和的应用和逻辑条件的判断，还考查了以上求解的能力，属于中档题.

3．（2020·上海市南洋模范中学高三月考）已知命题，（），若是的必要非充分条件，求：实数的取值范围.

【答案】.

【分析】利用集合的包含关系可得关于的不等式，从而可得实数的取值范围.

【详解】因为，故或，

因为，故：即或，

因为是的必要非充分条件，

故（等号不同时成立），所以.

【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式、必要不充分条件，注意条件关系与集合的包含关系的对应，本题属于中档题.

【真题模拟题训练】

一、单选题

1．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，

使得、、成等差数列”的一个必要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】 存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.

2．（2022·上海宝山·一模）“”是“直线和平行”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据行列式的计算及两直线平行的条件判断.

【详解】由得，

所以当，，两直线重合，所以“”不是“直线和平行”的充分条件，

又直线和平行，得，即，

所以“”是“直线和平行”的必要条件，

综上所述“”是“直线和平行”的必要不充分条件，

故选：B.

3．（2022·上海·二模）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

4．（2021·上海闵行·一模）设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（       ）

A．中仅是的充分条件

B．中仅是的充分条件

C．都不是的充分条件

D．都是的充分条件

【答案】D

【分析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.

【详解】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.

，

即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，

即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，

①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；

②当时，a≥0，，，

(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；

此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；

(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即成立；

(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，

∴在(－∞，0)单调递增，

∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；

又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，

∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，

故当0＜a＜1时，a＜＜1，，

∴f(a)＞0，f(b)＞0，

∴成立.

综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.

故选：D.

【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.

5．（2021·上海长宁·二模）已知函数满足：对任意，都有．

命题：若是增函数，则不是减函数；

命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．

则下列判断正确的是（       ）

A．和都是真命题 B．和都是假命题

C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题

【答案】C

【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.

【详解】对于命题：设，因为是上的增函数，所以，

所以，

因为，

所以

所以

故函数不是减函数，

故命题为真命题；

对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，

因为，

所以，

所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命题为假命题．

故选：C

【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，；或.

6．（2021·上海奉贤·二模）已知､､､都是非零实数，成立的充要条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将条件，然后对四个选项逐个验证即可得出结果.

【详解】因为都是非零实数，所以，

对于选项A：

故A错误；

对于选项B：

，故B错误；

对于选项C：

，故C正确；

对于选项D：

故D错误.

故选：C

二、多选题

7．（2021·上海·模拟预测）假设“物理好数学就好是真命题”，那么下面哪句话成立（       ）

A．物理好数学不一定好 B．数学好物理不一定好

C．数学差物理也差 D．物理差数学不一定差

【答案】BCD

【分析】按照互为逆否的两个命题等价即可判断答案.

【详解】设p:物理好，q:数学好，由题意，“若p，则q”为真命题，

所以“若，则”为真命题，C正确；

而其它形式的命题（否命题，逆命题）无法判定真假，则B,D正确.

故选：BCD.

三、填空题

8．（2022·上海·高考真题）已知，，则________

【答案】

【分析】根据集合交集的定义可得解.

【详解】由，

根据集合交集的定义，.

故答案为:

9．（2017·上海·高考真题）已知集合，集合，则_______.

【答案】{3，4}．

【分析】利用交集的概念及运算可得结果.

【详解】，

.

【点睛】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.

10．（2022·上海·二模）已知集合，，则_________.

【答案】

【分析】求出集合，利用并集的定义可求得结果.

【详解】，因此，.

故答案为：.

11．（2022·上海宝山·一模）已知集合，，则___________

【答案】

【分析】利用交集的定义进行求解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

12．（2021·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.

【答案】

【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.

【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，

若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，

若集合中只含个偶数，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.

因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；

若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；

若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.

综上所述，满足条件的集合的个数为.

故答案为：.

13．（2021·上海·模拟预测）设是集合，且(其中为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若，则的最大值为___________.

【答案】138

【分析】先观察到时的所有项都小于的任意一项，然后计算得到，可知，即可得到结果.

【详解】解：记中的项为，

当时，，1，2，…，，

其中时，取最大值，

当时，，1，2，…，，

其中时，取最小值，

显然，

即时的所有项都小于的任意一项，

故从小到大排列顺序为，，，，，，…，

由，得，

∴，

又为数列的第项，

∴为数列的第277项，

要使，即，

∴，，

∴的最大值为138.

故答案为：138.

【点睛】本题考查了指对数的大小比较，不等式的问题，考查了集合中元素的互异性，灵活程度很高.

14．（2021·上海杨浦·二模）非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是__________．（结果用最简分数表示）

【答案】

【分析】先求出集合的所有非空子集的个数，然后求出为奇数的集合的个数，从而求出为偶数的集合的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求．

【详解】解：因为集合，所以集合的所有非空子集共有个，

若为奇数，则中元素全部为奇数，

又的非空子集个数，共有个，

所以为偶数的共有个，

故为偶数的概率是．

故答案为：．

【点睛】结论点睛：若集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个.

四、解答题

15．（2021·上海黄浦·三模）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.

（1）判断集合、是否为“好集合”；

（2）若集合是“好集合”，求的值；

（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析.

【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论；

（2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值；

（3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果.

【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”.

集合对应的集合，集合的元素个数为，且，

故集合不是“好集合”；

（2）集合对应的集合，且，

集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、或、、、、、，

若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，

所以，，解得；

若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，

则，不合乎题意.

综上所述，；

（3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下：

由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合.

不妨设，记，

集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为，

显然，，.

第一步，证明“好集合”的元素个数.

（反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论.

①若，可得，所以，，，

所以，，，，

在此后的两项和中，最小，

所以，，可得，

余下的项中，和较小，因为，

所以，，，则，

而，这与“集合中的元素个数为”矛盾；

②若，则，，余下的项中，和较小.

（i）若，则，所以，，

这与“集合中的元素个数为”矛盾；

（ii）若，则，，

在此后的两项之和中，最小，

所以，，所以，，

同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾.

综上，假设不成立，所以，.

第二步，证明也不合乎要求.

当时，显然，，，，，

所以，，则，，

故，，，

因为，所以，、、、成等差数列，故，

这与“集合中的元素个数为”矛盾.

综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值.

【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.