2023届高考数学二轮复习专题六不等式_第32练基本不等式及其应用作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题六不等式_第32练基本不等式及其应用作业含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 已知 a+ba>0,b>0 是函数 fx=-x+30-3a 的零点，则使 1a+1b 取得最小值的有序实数对 a,b 是
A. 10,5B. 7,2C. 6,6D. 5,10
2. 已知不等式 2x+m+8x-1>0 对一切 x∈1,+∞ 恒成立，则实数 m 的取值范围是
A. -10,+∞B. -∞,-10
C. -8,+∞D. -∞,-8
3. 已知 Pa,b 为圆 x2+y2=4 上任意一点，则当 1a2+4b2 取最小值时，a2 的值为
A. 45B. 2C. 43D. 3
4. 已知点 C 在直线 AB 上，且平面内的任意一点 O，满足 OC=xOA+yOB，x>0，y>0，则 1x+1y 的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 若 a+2b=1ab≠0，则下列结论中错误的是
A. ab 的最大值为 18B. 1ab 的最小值为 8
C. a2+ab+b2 的最小值为 14D. 1a2+ab+b2 的最大值为 4
6. 已知 x，y，z 均为正实数，则 xy+yzx2+y2+z2 的最大值是
A. 23B. 22C. 45D. 235
7. 巳知点 M 是 △ABC 内的一点，且 AB⋅AC=23，∠BAC=π6，若 △MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为 23，x，y，则 4x+yxy 的最小值为
A. 16B. 18C. 20D. 27
8. 若 a＞0，b＞0，且函数 fx=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值，则 4a+1b 的最小值为
A. 49B. 43C. 32D. 23
9. 已知两圆 x2+y2+2ax+a2-4=0 和 x2+y2-4by-1+4b2=0 恰有三条公切线，若 a∈R，b∈R，且 ab≠0，则 1a2+1b2 的最小值为
A. 1B. 3C. 19D. 49
10. 设 a>b>0，当 a2+4ba-b 取得最小值时，函数 fx=asin2x+bsin2x 的最小值为
A. 3B. 22C. 5D. 42
11. 已知直线 ax+by=1 经过点 1,2，则 2a+4b 的最小值为
A. 2B. 22C. 4D. 42
12. 若两个正实数 x，y 满足 1x+4y=1，且不等式 x+y4＜m2-3m 有解，则实数 m 的取值范围是
A. -1,4B. -∞,-1∪4,+∞
C. -4,1D. -∞,0∪3,+∞
二、填空题（共4小题）
13. 已知 x，y 均为正实数，且 xy-x+y=1，则 x+y 的最小值是 ．
14. 已知正实数 m，n 满足 m+n=1，且使 1m+16n 取得最小值．若曲线 y=xa 过点 Pm5,n4，则 a 的值为 ．
15. 已知 ab=14，a,b∈0,1，则 11-a+21-b 的最小值为 ．
16. 若实数 x,y>0，且 xy=1，则 x+2y 的最小值是 ，x2+4y2x+2y 的最小值是 ．
答案
1. D【解析】因为 a+ba>0,b>0 是函数 fx=-x+30-3a 的零点，
所以 -a+b+30-3a=0，即 4a+b=30，
则
1a+1b=1304a+b1a+1b=1305+4ab+ba≥1305+24ab⋅ba=310.
当且仅当 b=2a=10 时取等号，故使 1a+1b 取得最小值的有序实数对 a,b 是 5,10．
2. A【解析】解法一：不等式 2x+m+8x-1>0 可化为 2x-1+8x-1>-m-2，因为 x>1，所以 2x-1+8x-1≥2×2x-1⋅4x-1=8，当且仅当 x=3 时取等号．因为不等式 2x+m+8x-1>0 对一切 x∈1,+∞ 恒成立，所以 -m-2<8，解得 m>-10．
解法二：不等式 2x+m+8x-1>0 对一切 x∈1,+∞ 恒成立可化为 m>-2x-8x-1max，x∈1,+∞，令 fx=-2x-8x-1，x∈1,+∞，则 fx=-2x-1+8x-1-2≤-22x-1⋅8x-1-2=-2×4-2=-10，当且仅当 x=3 时取等号，所以 m>-10．
3. C【解析】因为 Pa,b 为圆 x2+y2=4 上任意点，所以 a2+b2=4．又 a≠0，b≠0，设 a=2csθ，b=2sinθ，θ∈0,π2∪π2,π∪π,3π2∪3π2,2π，则 1a2+4b2=14cs2θ+44sin2θ=sin2θ+cs2θ4cs2θ+4sin2θ+cs2θ4sin2θ=14tan2θ+1+4+4tan2θ≥142tan2θ⋅4tan2θ+5=94,
当且仅当 tan2θ=2 时取等号，故 a2=4cs2θ=4cs2θsin2θ+cs2θ=4tan2θ+1=43．
4. B【解析】因为点 C 在直线 AB 上，故存在实数 λ 使得 AC=λAB，
则
OC=OA+AC=OA+λAB=OA+λOB-OA=1-λOA+λOB,
所以 x=1-λ，y=λ，所以 x+y=1．
又 x>0，y>0，
所以
1x+1y=1x+1yx+y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4,
当且仅当 yx=xy，即 x=y=12 时取等号．
5. B
【解析】由 ab=1-2bb=-2b2+b=-2b-142+18≤18，知选项A正确；由 ab≤18 知，当 a，b 同号时，1ab≥8，当 a，b 异号时，1ab<0，
所以选项B错误；
因为
a2+ab+b2=1-2b2+1-2bb+b2=3b2-3b+1=3b-122+14≥14,
即 a2+ab+b2≥14，则 0<1a2+ab+b2≤4，故选项C，D正确．
6. B【解析】因为 x，y，z 均为正实数，
所以 x2+12y2≥2×22xy，当且仅当 x=22y 时等号成立，
12y2+z2≥2×22yz，当且仅当 z=22y 时等号成立，
所以 xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+12y2+12y2+z2≤xy+yz2xy+2yz=22，
当且仅当 x=z=22y 时，等号成立．
7. D【解析】设 △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
因为 AB⋅AC=23，∠BAC=π6，
所以 ∣AB∣⋅∣AC∣csπ6=23，
所以 bc=4，
所以 S△ABC=12bcsinπ6=14bc=1．
因为 △MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为 23，x，y，
所以 23+x+y=1，即 x+y=13，
所以 4x+yxy=1x+4y=3x+y1x+4y=31+4+yx+4xy≥35+2yx⋅4xy=27，
当且仅当 y=2x=29 时取等号，故 4x+yxy 的最小值为 27．
8. C【解析】因为函数 fx=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值，所以 fʹ1=12-2a-2b=0，即 a+b=6，则 4a+1b=16a+b4a+1b=165+ab+4ba≥165+2ab⋅4ba=5+46=32 ，当且仅当 ab=4ba，即 a=2b=4 时取等号．
9. A【解析】由题意知两圆外切，由 x2+y2+2ax+a2-4=0 知 x+a2+y2=4，
由 x2+y2-4by-1+4b2=0 知 x2+y-2b2=1，
所以 a2+4b2=2+12=9，
因此 1a2+1b2=1a2+1b2×a2+4b29=195+4b2a2+a2b2≥195+24b2a2×a2b2=1，
当且仅当 a2=2b2 时取等号，
所以 1a2+1b2 的最小值为 1．
10. A
【解析】因为 ba-b≤b+a-b24=a24，当且仅当 a=2b 时取等号，所以 a2+4ba-b≥a2+16a2≥8，当且仅当 a=2，b=1 时取等号，所以 fx=asin2x+bsin2x=2sin2x+sin2x，设 sin2x=t，则 t∈0,1，所以 y=2t+t 在 0,1 上单调递减，所以 ymin=3，即 fxmin=3．
11. B
12. B
【解析】因为不等式 x+y4＜m2-3m 有解，所以 x+y4min0，y＞0，且 1x+4y=1，所以 x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy⋅y4x+2=4,
当且仅当 4xy=y4x，即 x=2，y=8 时取等号，所以 x+y4min=4，故 m2-3m＞4，解得 m＜-1 或 m＞4．所以实数 m 的取值范围是 -∞,-1∪4,+∞．
13. 22+1
【解析】因为 xy-x+y=1，
所以 xy=x+y+1≤x+y22，
当且仅当 x=y 时等号成立，整理得 x+y2-4x+y-4≥0，
从而可得 x+y≥22+1 或 x+y≤21-2（舍去），
故 x+y 的最小值为 22+1．
14. 12
【解析】1m+16n=1m+16nm+n=17+nm+16mn≥17+2nm⋅16mn=25，当且仅当 n=4m=45 时取等号，故点 P125,15，由于曲线 y=xa 过点 P，所以 15=125a，从而可得 a=12．
15. 4+423
【解析】因为 ab=14，
所以 b=14a，
因此，
11-a+21-b=11-a+21-14a=11-a+8a4a-1=11-a+24a-1+24a-1=11-a+24a-1+2=214a-1+24-4a+2=2314a-1+24-4a4a-1+4-4a+2=231+2+4-4a4a-1+24a-14-4a+2≥233+22+2=4+423,
当且仅当：a=1+224+22，取“=”，
即，11-a+21-b 的最小值为：4+423．
16. 22，2
【解析】因为实数 x,y>0，且 xy=1，
所以 x+2y≥2x⋅2y=22，当且仅当 x=2y，即 x=2，y=22 时等号成立，
所以 x+2y 的最小值为 22．
x2+4y2x+2y=x+2y2-4xyx+2y=x+2y-4xyx+2y=x+2y-4x+2y，
因为 x+2y≥22，
所以 -4x+2y≥-422，
所以 x2+4y2x+2y≥22-422=2，
故 x2+4y2x+2y 的最小值是 2．