2023届高考数学二轮复习专题六数列与数学归纳法_第2讲数列的通项与求和作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题六数列与数学归纳法_第2讲数列的通项与求和作业含答案，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共8小题）
1. 已知数列 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn，若 S4=8，S8=20，则 S12= ．
2. 设 an 是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4=1，S3=7，则 S5= ．
3. 已知数列 an 的通项公式为 an=1n+n+1，则其前 n 项和 Sn= ．
4. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n2+4n+1，则 an 的通项公式为 ．
5. 设数列 an 满足 an=n⋅22n-1，则其前 n 项和 Sn= ．
6. 数列 an 满足 an+1=11-an，a8=2，则 a1= ．
7. 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1=-1，an+1=Sn⋅Sn+1，则 Sn= ．
8. 对于数列 an，定义数列 bn 满足：bn=an+1-ann∈N*，且 bn+1-bn=1n∈N*，a3=1，a4=-1，则 a1= ．
二、解答题（共9小题）
9. 在数列 an，bn 中，已知 a1=0，a2=1，b1=1，b2=12，数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，且满足 Sn+Sn+1=n2，2Tn+2=3Tn+1-Tn，其中 n 为正整数．求数列 an，bn 的通项公式．
10. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn．已知 a1=1，an+1=Sn+3n，n∈N*．
（1）若 bn=Sn-3n，求数列 bn 的通项公式；
（2）求数列 an 的通项公式．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，n∈N*．已知 a1=1，a2=32，a3=54，且当 n≥2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1．
（1）求 a4 的值；
（2）求证：an+1-12an 为等比数列；
（3）求数列 an 的通项公式．
12. 已知数列 an 满足 a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1n≥2．
（1）求证：an+1+2an 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式．
13. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和．已知 an>0，an2+2an=4Sn+3．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn=1anan+1，求数列 bn 的前 n 项和．
14. 已知等差数列 an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn=-1n-14nanan+1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
15. 已知数列 an 满足 an+2=qan（q 为实数，且 q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2 且 a2+a3，a3+a4，a4+a5 成等差数列．
（1）求 q 的值和数列 an 的通项公式；
（2）设 bn=lg2a2na2n-1，n∈N*，求数列 bn 的前 n 项和．
16. 已知 an 是各项均为正数的等比数列，bn 是等差数列，且 a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7．
（1）求 an 和 bn 的通项公式；
（2）设 cn=anbn，n∈N*，其前 n 项和为 Tn．
① 求 Tn；
② 若 λ≤nTn-3 对任意 n∈N* 恒成立，求 λ 的最大值．
17. 在数列 an 中，已知 a1=3，an=2an-1+n-2n≥2,n∈N*．
（1）求 a2，a3 的值；
（2）求证：数列 an+n 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
（3）求数列 an 的前 n 项和 Sn．
答案
1. 36
2. 314
【解析】由题意可得 a2a4=a32=1，又 a3>0，所以 a3=1，
设 an 的公比为 q，则 q>0，
所以 S3=1q2+1q+1=7，解得 q=12 或 q=-13（舍去），
所以 a1=1q2=4，所以 S5=4×1-1251-12=314．
3. n-1-1
4. an=7,n=14n+2,n≥2
5. 193n-122n+1+2
6. 12
【解析】因为 an+1=11-an=11-11-an-1=1-1an-1=1-111-an-2=an-2,
所以数列 an 是以 3 为周期的数列，
于是 2=a8=a2=11-a1，解得 a1=12．
7. -1n
8. 8
【解析】由 bn=an+1-ann∈N*，可得 b3=a4-a3=-2，又 bn+1-bn=1，所以数列 bn 是以 1 为公差的等差数列，所以 bn=b3+n-3=n-5，所以 b2=a3-a2=-3，可得 a2=4，所以 b1=a2-a1=-4，故 a1=8．
9. an=n-1，bn=12n-1
10. （1） bn=-2n，n∈N*．
（2） an=2×3n-1-2n-1，n∈N*．
11. （1） a4=78．
（2） 略．
（3） an=2n-1×12n-1．
12. （1） 因为 an+1=an+6an-1n≥2，
所以 an+1+2an=3an+6an-1=3an+2an-1n≥2．
因为 a1=5，a2=5，
所以 a2+2a1=15，
所以 an+2an-1≠0n≥2，
所以 an+1+2anan+2an-1=3n≥2，
所以数列 an+1+2an 是以 15 为首项，3 为公比的等比数列．
（2） 由（1）得 an+1+2an=15×3n-1=5×3n，
则 an+1=-2an+5×3n，
所以 an+1-3n+1=-2an-3n．
又因为 a1-3=2，
所以 an-3n≠0，
所以 an-3n 是以 2 为首项，-2 为公比的等比数列．
所以 an-3n=2×-2n-1，即 an=2×-2n-1+3n．
13. （1） an=2n+1．
（2） Tn=n32n+3．
14. （1） 因为 S1=a1，S2=2a1+2×12×2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4a1+12，
由题意得 2a1+22=a14a1+12，解得 a1=1，
所以 an=2n-1．
（2） 由题意可知，
bn=-1n-14nanan+1=-1n-14n2n-12n+1=-1n-112n-1+12n+1．
当 n 为偶数时，
Tn=1+13-13+15+⋯+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1.
当 n 为奇数时，
Tn=1+13-13+15+⋯-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.
所以 Tn=2n+22n+1,n为奇数2n2n+1,n为偶数 （或 Tn=2n+1+-1n-12n+1 ）．
15. （1） q=2，an=2n-12,n为奇数2n2,n为偶数．
（2） Sn=4-n+22n-1．
16. （1） an=2n-1，n∈N*，bn=2n-1，n∈N*．
（2） ①Tn=2n-32n+3；
②-2．
17. （1） a2=6，a3=13．
（2） 略．
（3） Sn=2n+2-n2+n+82．