高中数学高考第3讲　基本不等式及其应用

第3讲　基本不等式及其应用

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是(　　)

A.lg>lg x(x>0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＜1(x∈R)

解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.

答案　C

2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A.[0，2]    B.[－2，0]

C.[－2，＋∞)    D.(－∞，－2]

解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.

答案　D

3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)

A.7   B.8   C.9   D.10

解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.故选C.

答案　C

4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.≤    B.＋≤1

C.≥2    D.a2＋b2≥8

解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.

答案　D

5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.   B.2   C.2   D.4

解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.

因为＋＝，所以≥，即ab≥2，

所以ab的最小值为2，故选C.

答案　C

6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)

A.   B.   C.2   D.

解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

答案　C

7.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)

A.4   B.2   C.8   D.16

解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，

则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.

答案　B

8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.   B.   C.1   D.2

解析　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝1.

答案　C

二、填空题

9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.

解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，

解得≥3，即ab≥9.

答案　[9，＋∞)

10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________.

解析　∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.

答案　－4

11.若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.

解析　＝，

因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，

则≤＝，

即的最大值为，故a≥.

答案　

12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.

解析　设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，

∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，

∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，

∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.

答案　2　20

13.已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A.9   B.12   C.18   D.24

解析　因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤，因为(a＋3b)·＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.

答案　B

14.(2017·石家庄调研)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)

A.   B.

C.2＋    D.2－

解析　易知an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝.

∴＝＝

≥＝，当且仅当n＝4时取等号，

因此的最小值为.

答案　A

15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________.

解析　由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，则0<ab≤1，所以ab的最大值为1.

答案　1

16.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.

解析　因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.

又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.

答案　[6，＋∞)