2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一下学期第一次质量检测数试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一下学期第一次质量检测数试题

一、单选题

1．已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件判定所在象限并求出，再利用诱导公式化简计算即得.

【详解】依题意，是第二象限角，而，则，

所以.

故选：C

2．已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（    ）

A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)

【答案】B

【详解】首先根据题意求出向量在方向上的投影为，再求投影向量即可.

【点睛】向量在方向上的投影，

因为投影向量与方向相同，，

所以向量在方向上的投影向量为.

故选：B

3．已知函数.令，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用诱导公式可知，由此可得，再根据偶函数的单调性可得结论．

【详解】由于，为偶函数，则，

由于在单调递增，所以，

又偶函数在,上单调递增，

．

故选：D

4．已知单位向量，满足，若向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积的运算以及模长公式,代入夹角公式中即可求解余弦值,进而可求解角.

【详解】,

,

所以，

由于,所以，

故选：C

5．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

【答案】D

【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，

故选D．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.

6．已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案.

【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得,

所以，将函数的图象向左平移个单位长度，

得到的图象，

因为该图象关于原点对称，则 ，所以

当时，，，不合题意，当时，，

又，所以当时，取，当时，，不合题意，

故最大值为，

故选：C

7．若为第二象限角，且，则的值是（    ）

A．4 B．-4 C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.

【详解】由得：，而为第二象限角，则有，

因此，

故选：B

8．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为 ，若P点坐标为，则=

A．0 B．2 C．6 D．10

【答案】D

【分析】根据题意画出函数f（x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，

再计算与它的模长．

【详解】函数f（x）＝与g（x）＝x﹣1的所有交点

从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，

且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，

如图所示；

则5（1，），

所以＝10．

故选D．

【点睛】本题考查了函数的图象与平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，中档题．

二、多选题

9．（多选题）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有个零点，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．在上有且只有个最大值，在上有且只有个最小值

C．在上单调递增

D．的取值范围是

【答案】CD

【分析】由图象平移得到函数解析式，求出正弦型函数的对称轴判断A，作出函数大致图象，根据条件可判断位置，据此可得出函数极大值与极小值的个数判断B，求出函数在轴右侧第5个和第6个零点，由求出范围判断D，再由图象知函数在上递增，利用范围可知，据此即可判断C.

【详解】依题意得， ，如图：

对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；

对于B，因为在上有且只有个零点，根据图象可知，，在有个极大值点，在有个或个极小值点，故B不正确；

对于D，因为，

所以，解得，所以D正确；

对于C，因为，由图可知在上递增，因为，所以，

所以在上单调递增，故C正确．

故选：CD．

10．对于函数，下列说法错误的是（    ）

A．函数的值域是

B．当且仅当时，

C．当且仅当时，函数取得最大值1

D．函数是以为最小正周期的周期函数

【答案】ACD

【分析】先理解题意可得，再作出函数的图象，再观察图象的性质即可得解.

【详解】解：由函数，

则，

作出函数的图象（实线部分），

观察图象的性质有：函数的值域为，即选项A错误，

当且仅当时，＞0，即选项B正确，

当且仅当时，函数取得最大值，即选项C错误，

函数是以为最小正周期的周期函数，即选项D错误，

故选：ACD.

11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的值域是 B．函数是周期函数

C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根

【答案】ABC

【分析】根据，可得，则，去绝对值符号，从而可求出的值域，基尔克的函数的节诶稀释，作出函数图象，再根据函数图象逐一分析各个选项即可得解.

【详解】因为，所以，

则，

当时，，

当时，，

所以，

所以，

作出函数的图象，

当时，，此时，

当时，，此时，

当时，，此时，

所以函数的值域是，故A正确；

作出函数的图象，

由图可知函数是以为周期的周期函数，故B正确；

函数的图象关于对称，故C正确；

对于D，方程根的个数即为方程方程根的个数，

即为两个函数图象交点的个数，

当时，，当时，，

由图可知，两个函数图象没有交点，

所以方程无解，故D错误.

故选：ABC.

12．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（    ）

A．为的垂心 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确；

推导得到，由此可证得B正确；

由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误；

利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确.

【详解】对于A，，，即，

同理可证得：，，是的垂心，A正确；

对于B，延长交于两点，

由A可知：，，，，

，又，，B正确；

对于C，由B可得：，

同理可得：，，

，

，C错误；

对于D，由B可得：，

同理可得：，，

，

由C可得：，

又，，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.

三、填空题

13．已知，则的值为______．

【答案】

【解析】由诱导公式可得，，

且，代入可得到答案.

【详解】因为，，

所以，，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

14．求函数的定义域为__________________.

【答案】

【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求解.

【详解】的定义域需要满足，即，

所以，其中，即，

故答案为：.

15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心､为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.

【答案】

【分析】连接，利用题目所给条件结合解三角形知识解出，从而得出的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆的面积减去弓形的面积，然后计算各部分的面积作差即可.

【详解】如图所示，连接，易知，

因为，所以，.

则弓形的面积为：，

又半圆的面积为：，

所以月牙泉的面积为：

(平方米).

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.

16．如图所示，半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值______.

【答案】

【分析】，再根据是的中点，可得，再由三点共线， 为定值，从而可由基本不等式求出结果.

【详解】，

因为是的中点，所以，

所以，

因为三点共线，且，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，

所以的最小值是.

故答案为：.

四、解答题

17．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，

(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；

(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式；

（2）解不等式，即可得解.

【详解】（1）解：设，则，，

所以，

第一次到最高点旋转了半周期，所以

游客从最低点登上，所以，故

（或）.

（2）解：令，则，

（或），

所以，

，

所以，

因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.

18．已知向量满足，，且.

(1)求向量与的夹角；

(2)设向量，当时，求的取值范围．

【答案】(1) ；(2)．

【分析】（1）由，，可解得，利用向量夹角余弦公式可得结果；（2）由，平方可得，则，结合，利用二次函数的性质可得的取值范围.

【详解】(1)因为，

则.

因为，则，

解得.

设向量与的夹角为，则.

又，则，

所以向量与的夹角为.

(2)因为

，

则.

因为，则当时，取最小值；当时，取最大值4，所以的取值范围是．

【点睛】本题主要考查向量的模、夹角以及及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

19．已知，且满足.求：

(1)的值；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据之间的关系，即可联立方程求解正余弦以及正切的值，

（2）（3）根据弦切互化，转化成齐次式即可求解.

【详解】（1）已知，且满足,平方得,所以，

∴，，

.

联立，解得，，；

（2）；

（3）

.

20．已知函数，

若的最小值为，求m的值；

当时，若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）利用函数的公式化简后换元，转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；

（2）根据恒成立，转化为函数的最值问题求解；

【详解】解：（1）函数f（x）=-sin2x+mcosx-1=cos2x+mcosx-2=（cosx+）2-2-．

当cosx=时，则2+，

解得：m=±

那么cosx=显然不成立．

x∈[]．

∴≤cosx≤1．

令cosx=t．

∴≤t≤1．

①当＞时，即m＞1，f（x）转化为g（t）min=（）2-2-=-4

解得：m=4.5，满足题意；

②当1＜时，即m＜-2，f（x）转化为g（t）min=（1）2-2-=-4

解得：m=-3，满足题意；

故得f（x）的最小值为-4，m的值4.5或-3；

（2）当m=2时，f（x）=（cosx+1）2-3，

令cosx=t．

∴≤t≤1．

∴f（x）转化为h（t）=（t+1）2-3，

其对称轴t=-1，

∴t∈[，1]上是递增函数．

h（t）∈[，1]．

对任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，

|f（x1）-f（x2）|max=

可得：a≥2．

故得实数a的取值范围是[2，+∞）．

【点睛】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

21．函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.

(1)当时，求函数的单调递减区间；

(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)单调递减区间为

(2)存在，

【分析】（1）根据函数图象可得与周期，从而可求得，再利用待定系数法求出，再根据平移变换的原则即可得函数的解析式，再根据三角函数的单调性结合整体思想即可得解；

（2）由，得，分别求出和的范围，再根据题意可得的范围是的范围的子集，进而可得出答案.

【详解】（1）由函数图象可知，，

，∴，，

∴，当时，，

∴，由得，

∴，

由，得，

由，解得，，

∴函数的单调递减区间为；

（2）由，得，

由，可得，∴，

∴，

又，得，所以，

由的唯一性可得：即，

由，得，解得，

综上所述，当时，使成立.

22．在中，，，，为边中点．

（1）求的值；

（2）若点满足，求的最小值；

（3）若点在的角平分线上，且满足，若，求的取值范围.

【答案】（1）14；（2）-9；（3）.

【分析】建立平面直角坐标系.

（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可；

（2）利用平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可；

（3）根据角平分线的性质，结合平面向量共线的坐标表示公式、加法的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为为边中点，所以.

（1）因为，所以；

（2）因为点满足，所以点在横轴上，

设，则，

所以的最小值是

（3）因为点在的角平分线上，所以设，

因为可以表示为，

所以有：，

，

所以的取值范围是.