2022-2023学年山东省枣庄市第八中学南校高一下学期3月月考数学试题（彩虹班）含解析

2022-2023学年山东省枣庄市第八中学南校高一下学期3月月考数学试题（彩虹班）

一、单选题

1．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）

【答案】D

【解析】根据向量的概念逐一判断即可.

【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；

当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误；

相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；

向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.

故选：D.

【点睛】本题考查向量的概念，是基础题.

2．如图，在中，D是BC上的点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.

【详解】.

故选：C.

3．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为与共线，则存在，使得，即，

因为向量、不共线，则，整理可得，即，

解得或.

故选：C.

4．已知复数，则下列说法正确的是（　　）

A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i

C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.

【详解】∵，

∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.

故选：B

5．已知复数，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用复数的减法运算法则进行运算即可.

【详解】解：复数，，

.

故选：A.

6．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质，可化简，写出，判断对应点的位置即可.

【详解】因为,所以表示的点在第二象限，故选B．

【点睛】本题主要考查了虚数单位的性质及复数的运算，涉及共轭复数概念，属于中档题.

7．在复数范围内，多项式可以因式分解为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将代数式化为，然后利用平方差公式可得出结果.

【详解】，故选A.

【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.

8．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.

【详解】由题意1i是关于的实系数方程

∴，即

∴，解得.

故选：D．

二、多选题

9．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；

对于B选项，当，时，，B选项错误；

对于C选项，当，时，，则，C选项正确；

对于D选项，，

取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

10．设，是复数，则下列命题中的真命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】运用复数模的运算、共轭复数可判断A项、B项，设出与代入计算可判断C项，举反例可判断D项.

【详解】对于A项，因为，所以，所以，故A项正确；

对于B项，因为，所以与互为共轭复数，所以，故B项正确；

对于C项，设（），（），

因为，

所以，即：，

又因为，，

所以，故C项正确；

对于D项，当，时， ，，，则 ，故D项不成立.

故选：ABC.

11．已知关于x的方程在复数范围内有一个根为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可求得m、n，进而可判断各项.

【详解】∵是方程的一个根，

∴也是方程的一个根，

∴，即：，

解得：，故C项正确；

∴，故D项不成立；

∴，

∴，故A项正确，B项错误.

故选：AC.

12．若复数满足，则（    ）

A．

B．是纯虚数

C．复数在复平面内对应的点在第三象限

D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则

【答案】AB

【分析】对于A：计算出复数的代数形式即可判断；

对于B：求出的代数形式即可判断；

对于C：求出复数在复平面内对应的点即可判断其位置；

对于D：通过复数在复平面内对应的点求出即可判断.

【详解】对于A：，，A正确；

对于B：，为纯虚数，B正确；

对于C：，其在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误；

对于D：复数在复平面内对应的点为，则，D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．设复数，满足，且，其中为虚数单位，则________.

【答案】

【解析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.

【详解】设，，

，

，又，所以，，

，

，

.

故答案为：.

14．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则______．

【答案】

【分析】由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．

【详解】由表格可知，

则，

故答案为

【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．

15．设复数，则复数的共轭复数为______．

【答案】

【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．

【详解】复数，则复数

．

复数的共轭复数为：

故答案为．

【点睛】本题考查复数的四则混合运算，是基础题，分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.

四、双空题

16．已知复数，，若为纯虚数，则

（1）实数______________；

（2）复数的平方根为______________．

【答案】          或

【分析】（1）由条件利用两个复数代数形式的除法，求得 ，由纯虚数，得a的关系式，由此求得a的值．（2）由（1）可得复数＝3﹣4i，设的平方根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得的平方根．

【详解】∵复数＝a﹣4i，＝8+6i，

为纯虚数，

∴8a﹣24＝0，且 32+6a≠0，∴a＝3．

（Ⅱ）由（1）可得复数＝a﹣4i＝3﹣4i，设的平方根为a+bi，a、b∈R，

则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，∴a2﹣b2＝3，2ab＝﹣4．

解得 ，或，

∴的平方根为2﹣i，或﹣2+i．

【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，求复数的平方根，两个复数相等的充要条件，准确计算是关键，属于基础题．

五、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用复数加减、乘法运算即可.

（2）运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可.

【详解】（1）.

（2）.

18．m为何实数时，复数满足下列要求：

（1）是纯虚数；

（2）在复平面内对应的点在第二象限；

【答案】（1）；（2）.

【分析】化简复数的表示方式.

（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；

（2）根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可.

【详解】解：

．

由z是纯虚数，可得，解得，

即时，z是纯虚数．

由，得，

即时，z在复平面内对应的点在第二象限．

19．已知复数z=m(m-1)+( m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是

(1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i

【答案】⑴m=1⑵m=0⑶ m=2

【分析】对于复数，（1）当且仅当时，复数；（2）当且仅当，时，复数是纯虚数；（3）当且仅当，时，复数．

【详解】（1）当且仅当 解得m=1，

即m=1时，复数z=0．

（2）当且仅当解得m=0，

即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数．

（3）当且仅当  解得m=2，

即m=2时，复数z=2+5i．

【点睛】本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．

20．已知复数，，为虚数单位.

（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

（2）若，求的共轭复数

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；

（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.

【详解】（1）由题意，复数，

则    

因为复数在复平面上对应的点在第四象限，

所以，解得，

即实数的取值范围.

（2）由，

所以.

【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：

（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；

（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.

21．已知向量.

(1)求和；

(2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？

【答案】(1)；；

(2)，反向.

【分析】（1）根据给定条件，利用向量运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.

（2）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）因为向量，则，，

所以，.

（2）依题意，，由（1）知，

由，解得，于是当时，与共线，

且，即有与方向相反，

所以当时，与共线，并且它们反向共线.

22．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

(1)若，求的面积；

(2)求的取值范围.

条件①；条件②.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；

（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.

【详解】（1）选条件①，，，又，

，而，故；

选条件②，，，

即，，又，故，

在中，当，，时，

由余弦定理得：，

即，（负值舍去），

所以；

（2）由题设及（1）可知：，，

故由正弦定理得：，

，，故（当且仅当时等号成立），

即；

综上，的面积为，的取值范围是.