2022-2023学年山东省枣庄市第八中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省枣庄市第八中学高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．圆的圆心和半径分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.

故选：D.

2．已知两点到直线的距离相等，则（    ）

A．2 B．  C．2或 D．2或

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】因为两点到直线的距离相等，

所以有，或，

故选：D

3．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．

【详解】

即

故选：D．

4．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（    ）

A． B．9 C． D．3

【答案】A

【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.

【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故

故选：A

5．若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（    ）

A．​或​ B．​ C．​或​ D．​

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得

故选：A

【点睛】6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.

【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，

即椭圆的c=2，

因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；

即通径为 ，又因为c=2

解得a=4

所以离心率

故选D.

【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.

7．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

8．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，切面与底面的二面角的平面角为，设圆半径为，则，，，得到，，，得到答案.

【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，设圆半径为，

则，，.

故，，

故，，，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（    ）

A．开口向上，准线方程为y＝－

B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，准线方程为y＝－1

【答案】AB

【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.

【详解】由题设，抛物线可化为，

∴开口向上，焦点为，准线方程为.

故选：AB

10．已知直线，，则（    ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

【答案】BD

【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.

【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，

令得：，

所以直线恒过点，

故选项A错误，

对于选项B：若时，显然不平行，

若时，显然不平行，

所以若，则，

且，

解得，

故选项B正确，

对于选项C：若，则，

解得，

故选项C错误，

对于选项D：若直线不经过第三象限，

当时，直线，符合题意，

当时，则，解得，

综上，，故选项D正确，

故选：BD.

11．点在圆上，点在圆上，则（    ）

A．的最小值为3 B．的最大值为7

C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为

【答案】ABC

【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.

【详解】圆的圆心坐标，半径

圆 ，即的圆心坐标，半径

∴圆心距

又在圆上，在圆上

则的最小值为，最大值为．

故A、B正确；

两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；

圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.

故答案为：ABC

12．.如图，在菱形中，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若分别为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．无论P运动到哪，都是锐角

B．线段的最小值为

C．平面平面

D．当分别为线段的中点时，与所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】设BD的中点为O，连接AO，CO，建立空间直角坐标系，运用空间向量作有关计算.

【详解】取的中点，连接，由题意可知：，

因为，所以，

又易知，

因为 ，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，故C正确，当P点与O点重合时， ，A错误；

以为原点，分别为轴建立坐标系，

则，

设，由得，，

，

当时，，故B正确；

当分别为线段的中点时，

设与所成的角为，

所以与所成角的余弦值为，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.

【详解】由直线和互相平行，

得 ，即.

故答案为：.

14．已知空间向量，，，若，，共面，则______.

【答案】3

【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值.

【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，使，

即，

则，解得，，.

故答案为：3

15．若双曲线的焦距为，一条渐近线为，且点到的距离为，则双曲线的方程为__________．

【答案】

【分析】根据题中数据可先求得半焦距c，依据点(1,0)在双曲线的对称轴上，选用双曲线的任一渐近线方程结合点到直线的距离公式，即可得出a，b的关系，进而求解双曲线的方程

【详解】根据题意，双曲线的半焦距，且点到双曲线的两渐近线的距离相等

所以可选直线的方程为，则，

得，所以；所以双曲线的标准方程为．

故答案为：.

16．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________

【答案】

【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解．

【详解】解：，0，，点到平面的距离为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知 的顶点，边BC上的中线所在直线的方程为所在直线方程为.求

(1)点A的坐标；

(2)若A，B两点关于直线m对称，求直线m的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）联立两直线方程，解即是A点的坐标；

（2）求AB的垂直平分线方程即可.

【详解】（1）由题意联立方程 ，解得 ， ；

（2）由（1）知 ，A，B的中点 ，

AB的斜率为 ，直线m的斜率为 ，

的方程为：  ，即 ；

综上， ，直线m的方程为：.

18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．

【答案】（1）；

（2）直线的方程为或．

【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差.

（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.

【详解】（1）因为，，所以线段的中点坐标为，

直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即．

圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：，

所以圆心的坐标是．

圆的半径长，

所以圆心为的圆的标准方程是．

（2）因为，所以在圆内.

又因为直线被圆截得的弦长为，

所以圆心到直线的距离

①当直线的斜率不存在时，，

到的距离为，符合题意．

②当直线的斜率存在时，设，即．

所以，，

解得，直线为：，即：

综上：直线的方程为或．

【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.

19．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．

(1)求侧棱AA1的长；

(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．

【答案】(1)4

(2)0；90°.

【分析】（1）由平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．

（2）由，（），再利用数量积的运算性质展开即可得出．

【详解】（1）设侧棱AA1＝x，

∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，

∴1，x2，•0，•，•，

又∵，

∴2＝（）22•2•2•26，

∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，

即侧棱AA1＝4．

（2）∵，（），

∴（）•（）（••）（1﹣1+2﹣2）＝0，

∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．

20．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.

【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：

（2）由得

设，则，，所以

则中点坐标为，代入圆

得，所以.

21．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且．

(1)求证：面；

(2)在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE所夹角的余弦值为？若存在，找出点E的位置：若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，是中点

【分析】（1）证明平面，得到，同理得到，得到线面垂直.

（2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，利用向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），，，故平面，平面，

故，同理可得，，故面.

（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

设，则，，

平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，

则，

取得到，，即，

，解得，

即存在点满足条件，是中点.

22．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义可得，进而可求其方程，

（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.

【详解】（1）由椭圆的定义，

可知

解得，又.

椭圆C的标准方程为.

（2）设直线l的方程为，

联立椭圆方程，得，

，得

设，则，

，

点到直线的距离，

.

当且仅当，即时取等号；

面积的最大值为.