2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期4月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列23,45,67,89,…的第10项是
( )
A. 1415B. 1617C. 1819D. 2021
2.若一组样本数据y1,y2,…,yn的期望和方差分别为2,0.04，则数据5y1+1,5y2+1,5y3+1,…,5yn+1的期望和方差分别为
( )
A. 3，1B. 11，1C. 3,0.2D. 11,0.2
3.等比数列an中，若a1+a2+a3+a4=3a1+a3，则公比为
( )
A. 1B. 12C. 2D. 2或−2
4.已知随机变量X∼N4,σ2，且PX≤2=0.3，则P(X<6)=( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.85D. 0.7
5.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a7+a10=a11+3，则S11=( )
A. 33B. 66C. 22D. 44
6.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+23n+12，则a1+a9b10=( )
A. 13B. 723C. 1169D. 2269
7.甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为( )
A. 511B. 910C. 1255D. 2755
8.如果an不是等差数列，但若∃k∈N*，使得ak+ak+2=2ak+1，那么称an为“局部等差”数列.已知数列xn的项数为4，其中xn∈1,2,3,4,5，n=1，2，3，4，记事件A：集合x1,x2,x3,x4⊆1,2,3,4,5；事件B：xn为“局部等差”数列，则PBA=( )
A. 215B. 730C. 15D. 110
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X的分布列如下表：
若P(|X|≠1)=12，则( )
A. m=13B. m=16C. n=512D. n=13
10.数列an是递增的等差数列，前n项和为Sn，满足a8=3a5，则下列选项正确的是
( )
A. d>0B. a3<0
C. 当n=4时，Sn最小D. Sn>0时，n的最小值为7
11.某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，若罚球10次，各次之间相互独立，其中命中的次数为X，则下列结论正确的是( )
A. P(X=k)=0.8k×0.210−kB. P(X=k)=C10k0.8k×0.210−k
C. E(X)=8D. D(X)=1.6
12.已知数列an满足a1+2a2+⋯+2n−1an=n⋅2n+1，则
( )
A. a1=4B. an的前10项和为150
C. −1nan的前11项和为−14D. an−10的前16项和为168
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.5，P(B)=0.4，那么P(A∩B)= ．
14.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Snn)(n∈N*)均在函数y=3x−2的图象上，则数列{an}的通项公式an= ．
15.盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到绿球的概率为 ．
16.已知各项均为正数的数列an满足：a1=1，前n项和为Sn，且an2−an=2Sn−1n≥2，数列bn满足对于任意正整数m≥2均有bm−1+bm+bm+1=am，数列bn的前66项和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
“俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢、腰部及腹部的肌肉．某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据．分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y(个)与坚持的时间x(周)线性相关．
参考公式：b^= 4i=1 (xi−x)(yi−y) 4i=1 (xi−x)2，a=y−bx．
(1)求y关于x的线性回归方程y=bx+a;
(2)预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数．
18.(本小题12分)
已知Sn为等差数列an的前n项和，n∈N*，3a2−a5=6，S6=54．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若n+3bn2=1an，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
(1)补全2×2列联表；
(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？(计算结果保留到小数点后三位，例如：3.841)
参考附表：
参考公式：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
20.(本小题12分)
北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层随机抽样的方法，在考核成绩为[70,90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80,90)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
21.(本小题12分)
已知正项数列an满足a1= 3，an+12−an2=2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn的前n项和为Sn，且bn=2nan2，若Sn−22n+1>λan−16恒成立，求实数λ的取值范围．
22.(本小题12分)
甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得−1分；若甲未投中，乙投中，甲得−1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)求甲、乙两人最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查归纳推理，考查数列的概念及简单表示，解题的关键是看出项与项数之间的关系，属于基础题．
观察分子分母的通项，即可归纳出该数列的通项公式，即可得结论．
【解答】
解：从分子上看，2，4，6，8，对应的通项为 2n ，
从分母上看，3，5，7，9，对应的通项为 2n+1 ，
所以该数列的通项公式为 an=2n2n+1 ，
所以 a10=2×102×10+1=2021 ．
故选： D ．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查期望的性质、方差的性质，属于基础题．
根据期望、方差的性质，结合原数据集中期望、方差求新数据集的期望、方差即可．
【解答】
解：由原样本数据集 y 中， E(y)=2,D(y)=0.04 ，而新数据集为 5y+1 ，
所以新数据集中 E(5y+1)=5×E(y)+1=11 ， D(5y+1)=25×D(y)=1 ．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于基础题．
根据等比数列的通项公式计算即可．
【解答】
解：设公比为 q ，
由 a1+a2+a3+a4=3a1+a3 ，得 a2+a4=2a1+a3 ，
即 a1+a3q=2a1+a3 ，解得 q=2 ．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于基础题．
根据正态分布的性质求解即可．
【解答】
解：由已知， PX≤2=PX≥6=0.3 ，则 P(X<6)=1−0.3=0.7 ，
故选：D
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，属于中档题．
先由等差数列的性质求出 a6=3 ，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可．
【解答】
解：由题意知： a7+a10=a11+a6=a11+3 ，则 a6=3 ，则 S11=a1+a112×11=11a6=33 ．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和公式，属于中档题．
根据等差数列通项公式性质得 a1+a9=2a5 ，再利用两等差数列前n项和与通项之间的关系，代入等式计算即可得出答案．
【解答】
解：因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又 SnTn=n+23n+12 ，
则可设 Sn=knn+2 ， Tn=kn3n+12 ，
则 a5b10=S5−S4T10−T9=35k−24k420k−351k=11k69k=1169 ，
所以 a1+a9b10=2a5b10=2×1169=2269 ．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了概率的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用题中的条件甲箱中取出的球为红球和非红球进行分类讨论，即可解出．
【解答】
解：若从甲箱取出的是红球，则从乙箱取出的是红球的概率为：410×611=1255，
若从甲箱取出的不是红球，则从乙箱取出的是红球的概率为：610×511=311，
故先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，
则由乙箱中取出的是红球的概率为：1255+311=2755，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义问题，条件概率的概念与计算．
分别求出事件 A 与事件 B 的基本事件的个数，用条件概率公式计算即可．
【解答】
解：由题意知，事件 A 共有 C54⋅A44=120 个基本事件，
对于事件 B ，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3
和4，1，2，3共3个，
含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；
含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；
含4，3，2的同理也有2个；
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；
含5，3，1的同理也有4个，
所以事件 B 共有24个基本事件，
所以 PBA=24120=15 ．
故选：C．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量分布列的性质及应用，解题时要认真审题，是基础题．
根据题意得到m+n+16+112=1，n+112=12，联立求解即可．
【解答】
解：由题可知，m+n+16+112=1，记为①
若P(|X|≠1)=12，则n+112=12，记为②，
联立①②，解得m=13，n=512．
故选AC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，等差数列前n项的最值问题，属于中档题．
由递增的等差数列可知d>0；由a8=3a5结合等差数列通项公式可得a3=−d2<0；最后根据等差数列求和公式及d>0可求得最值，即可判断CD．
【解答】
解：由an是递增的等差数列，得d>0，选项 A正确；
由a8=3a5，得a1+7d=3a1+4d，则a1=−52d，
所以a3=a1+2d=−d2<0，选项 B正确；
由Sn=na1+nn−12d=d2n−32−92d，
得当n=3时，Sn有最小值，且最小值为−92d，C选项错误；
又Sn=na1+nn−12d=d2nn−6>0，解得n>6n∈N+，
所以Sn>0时，n的最小值为7，选项D正确；
故选：ABD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了离散型随机变量分布列和期望问题，属中档题．
由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发生的概率都为0.8，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的期望公式得到结果．
【解答】
解：由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发生的概率都为0.8，
故本题符合独立重复试验，
即X～B(10,0.8)，
∴P(X=k)=C10k0.8k×0.210−k，E(X)=10×0.8=8，D(X)=10×0.8×0.2=1.6．
故选BCD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查数列的递推公式求数列通项，考查等差数列的前n项和公式及其应用，并项求和，属于中等题．
根据递推公式得 an=2n+2 ，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D．
【解答】
解：由 a1+2a2+⋯+2n−1an=n⋅2n+1 得：
当 n≥2 时， a1+2a2+⋯+2n−2an−1=n−1⋅2n ，
两式相减得 2n−1an=n·2n+1−(n−1)·2n=(n+1)·2n ，
故 an=2n+2,n≥2 ，当 n=1 时， a1=4 也符合，故 an=2n+2 ，
对于A， a1=4 ，故A正确，
对于B， an 的前10项和为 4+22×102=130 ，故B错误，
对于C， (−1)nan 的前11项和为 −a1+a2−a3+a4−⋯−a11=−4+5×−2=−14 ，故C正确，
对于D，当 an−10=2n−8≥0 ，解得 n≥4 ，所以 an−10=10−an,1≤n≤3an−10,n≥4,n∈N* ，
所以 an−10 的前16项和为 10−a1+10−a2+10−a3+a4−10+a5−10⋯+a16−10 =6+4+2+0+2+4+⋯+24=12+0+24×132=168 ，故D正确，
故选：ACD
13.【答案】0.3
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案．
【解答】
解：∵事件A与事件B相互独立，∴事件 A 与 B 相互独立，
∵ PA=0.5 ， PB=0.4 ，
∴ P(A∩B)=P(A)P(B)=P(A)1−P(B)=0.5×1−0.4=0.3 ．
故答案为： 0.3 ．
14.【答案】6n−5(n∈N*)
【解析】【分析】
本题考查了数列与函数的综合应用，属于基础题．
由点(n,Snn)在y=3x−2的图象上，得Snn=3n−2，即Sn=3n2−2n；由an=Sn−Sn−1可得通项公式，须验证n=1时，an也成立．
【解答】
解：依题意得Snn=3n−2，即Sn=3n2−2n，
所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=1，a2=S2−S1=7，则d=6，
所以an=6n−5(n∈N * )．
故答案为6n−5(n∈N * )
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查概率的求解，属于中档题．
将问题分为三类：只取1次球，取了2次球，取了3次球求解．
【解答】
解：直到取出红球为止，则在此过程中没有取到绿球可分为以下情况：
(i)只取了一次球，则取出红球的概率为 14 ，
(ii)取了二次球，则第二次取出红球的概率为 24×13=16 ，
(ii)取了三次球，则第三次取出红球的概率为 24×13×12=112 ，
所以直到取出红球为止，则在此过程中没有取到绿球的概率为 14+16+112=12 ，
故答案为： 12 ．
16.【答案】737
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式，求和公式，属于基础题．
根据 an,Sn 的关系求出数列 an 的通项公式，再利用等差数列求和公式求解．
【解答】
解：由 an2−an=2Sn−1n≥2 可得 an+12−an+1=2Sn ，两式相减得，
an+12−an+1−an2+an=2an ，则有 an+1+anan+1−an−1=0 ，
因为 an 是各项均为正数的数列，所以 an+1+an≠0 ，
所以 an+1−an−1=0 ，即 an+1−an=1 ，
所以数列 an 从第二项起为等差数列，
且 a22−a2=2a1=2 ，解得 a2=2 ，
所以 an=2+(n−2)=n(n≥2) ，首项 a1=1 也满足上式，
所以 an=n(n∈N*) ，
因为 bm−1+bm+bm+1=am ，
所以数列 bn 的前66项和为 (b1+b2+b3)+(b4+b5+b6)+⋯+(b64+b65+b66)=a2+a5+⋯+a65
=2+5+⋯+65=22×(2+65)2=737 ，
故答案为： 737 ．
17.【答案】解：(1)由所给数据计算得 x=14×1+2+4+5=3 ， y=14×5+15+25+35=20 ， i=14xi−xyi−y=70 ， i=14xi−x2=10 ，
所以 b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=7010=7 ，则 a=y−bx=−1 ，
故y关于x的线性回归方程是 y=7x−1 ．
(2)令 x=10 ，得 y=7×10−1=69 ，
故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”．

【解析】本题主要考查线性回归方程，属于中等题．
(1)应用最小二乘法求出回归直线方程；
(2)由(1)所得回归直线估计10周后能完成的“俯卧撑”个数．
18.【答案】解：(1)设等差数列 an 的公差为 d ，
则 3a2−a5=3a1+3d−a1−4d=2a1−d=6S6=6a1+6×52d=6a1+15d=54 ，解得： a1=4d=2 ，
∴an=4+2n−1=2n+2 ．
(2)由(1)得： n+3bn2=12n+2 ， ∴bn=1n+1n+3=121n+1−1n+3 ，
∴Tn=1212−14+13−15+14−16+⋅⋅⋅+1n−1n+2+1n+1−1n+3 =1212+13−1n+2−1n+3=5n2+13n12n+2n+3 ．

【解析】本题考查裂项相消法求和，等差数列的通项公式，属于中档题．
(1)利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得 a1,d ，进而得到 an ；
(2)由(1)可得 bn ，采用裂项相消法可求得结果．
19.【答案】解：(1)根据题意补全2×2列联表，如下：
(2)根据列联表中数据，得 χ2=100×40×20−10×30250×50×70×30≈4.762>3.841 ，
所以有 95% 的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关．

【解析】本题主要考查独立性检验，2×2列联表，属于基础题．
(1)直接根据表中数据即可完成列联表；
(2)根据公式求出 χ2 ，再对照临界值表，即可得出结论．
20.【答案】解：(1)设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以 PA=3560=712 ，
可以估计这名学生考核优秀的概率为 712 ．
(2)由已知，用分层随机抽样方法，在考核成绩为[70,90)的学生中任取8人，则考核成绩在[70,80)的学生应抽取3人，考核成绩在[80,90)的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以 P(X=1)=C33C51C84=570,P(X=2)=C32C52C84=3070,
P(X=3)=C31C53C84=3070,P(X=4)=C54C84=570.
所以随机变量X的分布列为
所以 EX=1×570+2×3070+3×3070+4×570=52，
即所求数学期望为 52 ．

【解析】本题考查利用超几何分布求分布列，超几何分布的均值，属于中档题．
(1)根据古典概型的概率计算公式即可求解，
(2)根据分层随机抽样的抽样比可得[70,80)和[80,90)抽取的学生人数，由超几何分布即可求解概率，进而得分布列．
21.【答案】解：(1)因为an+12−an2=2 ，
所以当 n≥2 时， an2−an−12=2 ，
故 a22−a12=2 ， a32−a22=2 ，……， an2−an−12=2 ，
上式相加得， an2−a12=2n−1=2n−2 ，
又 a12=3 ，所以 an2=2n−2+a12=2n+1 ，
当 n=1 时， a12=3 满足上式，所以 an2=2n+1 ，
又 an>0 ，所以 an= 2n+1 ．
(2)因为 bn=2nan2=2n2n+1 ，
所以 Sn=2×3+22×5+23×7+⋯+2n2n+1 ，①
2Sn=22×3+23×5+24×7+⋯+2n2n−1+2n+12n+1 ，②
①−② 得， −Sn=2×3+23+24+⋯+2n+1−2n+12n+1
=2+22+23+24+⋯+2n+1−2n+12n+1
=2(1−2n+1)1−2−2n+1(2n+1) =1−2n2n+1−2 ，
所以 Sn=2n−12n+1+2 ，
所以 Sn−22n+1>λan−16 可化简为 λ<2n+15 2n+1= 2n+1+14 2n+1 ，
因为 Sn−22n+1>λan−16 恒成立，所以 λ< 2n+1+14 2n+1min ，
因为对勾函数 y=x+14xx>0 在 0, 14 上单调递减，在 14,+∞ 上单调递增，
又 n∈N* ，
所以当n=6 ，即 2n+1= 13 时， 2n+1+14 2n+1=27 1313 ；
当 n=7 ，即 2n+1= 15 时， 2n+1+14 2n+1=29 1515 ，且 27 1313>29 1515 ；
所以 2n+1+14 2n+1min=29 1515 ，故 λ<29 1515 ．

【解析】本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和，不等式恒成立问题，属于较难题．
(1)利用累加法即可求得 an 的通项公式；
(2)先利用错位相减法求得 Sn ，从而将问题转化为 λ< 2n+1+14 2n+1 恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解．
22.【答案】解：(1)依题意，
X的所有可能取值为−1，0，1．
PX=−1=1−0.5×0.6=0.3 ，
P(X=0)=0.5×0.6+(1−0.5)(1−0.6)=0.5 ，
PX=1=0.5×1−0.6=0.2 ，
所以X的分布列为
(2)因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：
①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为 0.54=0.0625 ．
②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，
其概率为 2C42×0.5×0.5×0.2×0.3=0.18 ．
③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，
其概率为 4×0.2×0.3×0.2×0.3=0.0144 ．
故甲、乙两人最终平局的概率为 0.0625+0.18+0.0144=0.2569 ．
(3)Y的所有可能取值为2，3，4．
PY=2=0.3×0.3+0.2×0.2=0.13 ，
PY=3=2×0.3×0.3×0.5+2×0.2×0.2×0.5=0.13 ，
PY=4=1−PY=2−PY=3=0.74 ，
所以Y的分布列为
EY=2×0.13+3×0.13+4×0.74=3.61 ．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望。
(1)X的所有可能取值为−1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可；
(2)因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可；
(3)Y的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可．
X
−1
0
1
2
P
m
n
16
112
x
1
2
4
5
y
5
15
25
35

选书法
选剪纸
共计
男生
40

50
女生



共计

30

α
0.100
0.050
0.025
x0
2.706
3.841
5.024
成绩
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
5
5
15
25
10
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
X
1
2
3
4
P
114
37
37
114
X
−1
0
1
P
0.3
0.5
0.2
Y
2
3
4
P
0.13
0.13
0.74