2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市第一高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市第一高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再利用交集运算即可得到答案

【详解】因为，

所以，

故选：D

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】举特例可判断A，C，D，由函数在上单调递增可判断B.

【详解】当，时，A，C错误；

因为函数在上单调递增，所以，B正确；

当时，D错误.

故选：B

3．已知集合，则A中元素的个数为（　　）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【分析】根据为整数，分析所有可能的情况求解即可

【详解】当时，，得，

当时，，得

当时，，得

即集合A中元素有9个，

故选：A．

4．如图所示的阴影部分表示的集合是(　　)

A．A∩(B∩C) B．(∁UA)∩(B∩C)

C．C∩∁U(A∪B) D．C∩∁U(A∩B)

【答案】C

【详解】由于阴影部分在C中,且不在A,B中,则阴影部分表示的集合是C的子集,也是∁U(A∪B)的子集,即是C∩∁U(A∪B).故选C.

5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．

【解析】函数的解析式及常用方法．

【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．

6．对，记，则函数的最大值为（    ）

A．0 B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】根据题意求出函数，并作出函数的图象，进而求出函数的最大值.

【详解】根据题意，若，若，

则，作出函数的图象，如图：

由图可知x=1时函数有最大值1.

故选：C.

7．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式得，再由题设知是的真子集，列不等式组求参数范围

【详解】由可得，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，

所以，解得，

故实数的取值范围是，

故选：C

8．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.

【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立；

若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况；

若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立；

若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况，

综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，

故选：B

二、多选题

9．以下是同一函数的有（   ）

A．

B．

C．，

D．

【答案】BD

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数

【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数；

对于B，与的定义域和解析式都相同，是同一函数；

对于C，，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；

对于D，，二者定义域、对应法则均相同，是同一函数，

故选：BD

10．下列叙述中不正确的（    ）

A．命题“，总有”的否定是“，使得”

B．设，则“”的充要条件“”；

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件；

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BC

【分析】依据全称量词命题的否定的，以及必要条件､充分条件与充要条件的定义逐项判断.

【详解】解：选项A：依据全称量词命题的否定，可知命题“，总有”的否定是“，使得”，故选项A正确；

选项B：若，，则不成立，选项B不正确；

选项C：当时，一元二次方程根的判别式为，

即方程有两个根，注意到二次函数图像开口向上，

在处取值为，因此方程有一个正根和一个负根，

反之，若方程有一个正根和一个负根，则其解设为，，

有，因此是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项C不正确；

选项D：时，显然，反之，得到或，因此“”是“”的充分不必要条件，故选项D正确.

故选：BC.

11．给定数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合.则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合

B．集合为闭集合

C．正整数集是闭集合

D．若集合、为闭集合，则为闭集合

【答案】ACD

【分析】根据闭集合的定义对选项逐一分析，由此确定说法不正确的选项.

【详解】A选项：当集合时，，而，所以集合不为闭集合，故A错误；

B选项：当集合时，设，，，则，，所以集合是闭集合，故B正确；

C选项：设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故C错误；

D选项：设、，由可知，集合、为闭集合，，而，此时不为闭集合，故D错误.

故选：ACD.

12．若实数，，满足，以下选项中正确的有（   ）

A．的最小值为

B．的最小值为

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.

【详解】实数，，，

整理得，当且仅当即时取等号，故选项A错误；

，

当且仅当即时取等号，故选项B正确；

，，

，当且仅当时取等号，故选项C正确；

，

，

，当且仅当时取等号，故选项D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数的所有可能的取值组成的集合为________.

【答案】

【解析】确定集合中的元素，由得，由子集的定义求解．

【详解】由题意，

∵，∴，

时，满足题意

时，，，，，

∴实数的所有可能的取值组成的集合为．

故答案为：．

【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时注意空集是任何集合的子集，否则易出错．

14．若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由题可知“，”是真命题，即恒成立，再分类讨论即得.

【详解】命题“，”是假命题，

命题的否定：“，”是真命题，

即恒成立，

当时，显然成立；

当时，则，

解得：

综上，实数a的取值范围是，

故答案为：.

15．若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最小值为_____________

【答案】

【分析】由题意可知，1是方程的根，代入可求，，然后结合二次函数的性质即可得到答案

【详解】的解集为，

，1是方程的根，

，

，，

则二次函数开口向下，对称轴，

所以在区间上，当时，函数取得最小值，

故答案为：

四、双空题

16．关于的不等式

①当时，不等式的解集为______

②若不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是_________

【答案】     ；    

【分析】将不等式整理得，①将代入即可求解；②利用恰有2个整数解可得或，接着分和时进行讨论即可

【详解】由可得，

①将代入可得，解得，

故不等式的解集为；

②由题意可得恰有2个整数解，

，即或，

当时，不等式解为，

，恰有两个整数解为1，2，

，解得；

当时，不等式解为，，恰有两个整数解为，

，解得，

综上，的取值范围为.

故答案为：；

五、解答题

17．设集合，集合．

（1）若，求和；

（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）确定集合中的元素后，由集合运算法则计算；

（2）由是成立的必要不充分条件，得，根据集合包含关系可得参数范围．

【详解】解：（1）．

因为，所以，或，

所以，；

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以，

当时，，得

当时，，得，

所以实数的取值范围．

18．已知二次函数，且满足.

(1)求函数的解析式;

(2)若方程有两相异负实数根，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据已知条件可建立关于a，b，c的方程，解出a，b，c即可求得函数解析式；

（2）根据二次函数的性质，构造关于的不等式，即可得到答案

【详解】(1)由，得，

由，得，即，

所以，解得，

因此；

(2)结合（1）可得即两相异负实数根，

则满足，解得，

故的取值范围为

19．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】(1)由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

(2)该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

20．已知函数，其中.

(1)若不等式的解集为，求的值；

(2)求解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分析可知的两根分别为、，可求得的值；

（2）对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式与二次不等式的解法解原不等式，即可得解.

【详解】(1)解：由题意可知，方程的两根分别为、且，

则，解得，合乎题意.

(2)解：当时，由可得；

当时，由可得；

当时，，由可得或；

当时，由可得；

当时，，由可得或.

综上所述，当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

21．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6

(2)

【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；

（2）讨论和两种情况，

【详解】(1)当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为

①当时，．

②当时，因为（当且仅当时，等号成立），

所以．

故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．

(2)由题意得

①当时，，

设，则，，则，故；

②当时，，

由，得，

令，则，，则，故．

综上，．

22．已知函数，函数，其中

（1）若恒成立，求实数t的取值范围；

（2）若，

①求使得成立的x的取值范围；

②求在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；

（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；

②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.

【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立，

所以恒成立，所以，解得，

所以；

（2）①当时，，所以，解得；

当时，，所以，

因为，所以，

所以无解，

综上所述：的取值范围是；

②由①可知：，

当时，，所以，所以；

当时，的对称轴为，所以，

且，所以，

令，所以，所以，

综上可知：.

【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值.