湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期3月第一次月考数学试题 Word版含解析

雅礼中学高二月考试卷2023.3

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）

1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ）

A.  B.

C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】求出即得解.

【详解】解：由题意可得，所以，

所以.

故选：C

2. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ）

A. 1 B. 2

C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.

【详解】设等差数列的公差为，

则，，

联立，解得.

故选：C.

3. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

4. 已知，为两个非零向量，，，且，则与的夹角为（    ）

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

【答案】C

【解析】

【分析】先根据向量垂直求出，再利用夹角公式求出余弦值，最后得出答案.

【详解】，

与的夹角是120°.

故选：C.

5. 的展开式中的系数为（    ）

A.  B.  C. 120 D. 200

【答案】A

【解析】

【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.

【详解】展开式的通项公式为，

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；

据此可得：的系数为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.

6. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A. ＋＝1 B. ＋＝1

C. ＋＝1 D. ＋＝1

【答案】D

【解析】

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角恒等变换公式求解.

【详解】

所以，

所以

故选:B.

8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.

【详解】即，

所以，则，所以，

因为，所以，

所以，

，

由得，此时单调递增，

由得或，此时单调递减，

所以时，取得极大值为，

当时，取得极小值，

又因为，，，且时，，

的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：

则，解得，

所以时，的解集中恰有两个整数，

故实数的取值范围是

故选：C

【点睛】关键点点睛：的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围，属于难题.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;

B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

【答案】CD

【解析】

【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.

【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;

【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.

10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ）

A. 事件与相互独立； B. ；

C. ； D. ，，是两两互斥的事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出各事件的概率，即可得出结论.

【详解】由题意，

，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．

显然，，，是两两互斥的事件，D正确

且，，

而，A错误，

，，

所以，B正确；

，C正确；

故选：BCD.

11. 如图，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（    ）

A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行

C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、

、、、，

对于A选项，，，则，

所以，直线与直线不垂直，A错；

对于B选项，设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，所以，，即，

因为平面，平面，B对；

对于C选项，连接、、，

因为、分别为、的中点，则，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

所以，，所以，、、、四点共面，

故平面截正方体所得截面为，

且，同理可得，，

所以，四边形为等腰梯形，

分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示：

因为，，，

所以， ，故，，

因为，，，则四边形为矩形，所以，，

，故，

故梯形的面积为，C对；

对于D选项，，则点到平面的距离为，

，则点到平面的距离为，

所以，点与点到平面的距离不相等，D错.

故选：BC.

12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（    ）

A. 双曲线的离心率

B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上

C. 为定值

D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断B；设点，求出，代入点在双曲线上的条件可判断C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断D．

【详解】双曲线的左、右焦点分别为、，

双曲线的渐近线为，即，

因为圆与双曲线的渐近线相切，且圆心为，圆的半径为，

所以，，因为，解得，

则双曲线，，，，

对于A选项，双曲线离心率．A对；

对于B选项，为双曲线右支上（异于右顶点）一点，

设的内切圆与三边切点分别为、、，如图，

由圆的切线性质知

，

即，可得，

所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错；

对于C选项，设双曲线右支上的动点坐标为，则，

又双曲线渐近线方程为

则，即为定值，C对；

对于D选项，由已知的方程是，倾斜角为，

所以，则，

所以，，

当且仅当时等号成立，D对．

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.

【详解】因为直线与直线相互平行，

则，即，解得.

故答案为：.

14. 有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)

【答案】

【解析】

【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.

【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,

则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,

所以一共有种分派方案.

故答案为:.

15. 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．

【答案】.

【解析】

【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．

【详解】作分别垂直于，平面，连，

知，，

平面，平面，

，．，

，

，为平分线，

，又，

．

【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．

16. 若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】

【分析】分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到的表达式，通过构造函数，再利用导数的性质进行求解即可.

【详解】设是曲线上一点，由，因此过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，即，

设是曲线上一点，

由，所以过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，

即，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：

，因为，所以

设函数，，

因为，所以，所以函数是减函数，

，当时，，因此，

所以，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义和构造函数是解题的关键.

四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，角所对的边长分别为，，．

（1）若，求角的余弦值；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）先根据正弦定理得到的关系，再根据，，解得，代入余弦定理中即可求得角的余弦值；

（2）根据，可得为最大边，即为最大角，用余弦定理计算角的余弦值并化简，使其小于零，即可解得的取值范围，再根据两边之和大于第三边及为正整数，即可得的值.

【小问1详解】

解：因为，根据正弦定理可知，

解得，故，，

在中，由余弦定理可得：；

【小问2详解】

因为，，所以，

所以若为钝角三角形，则为钝角，

在中，由余弦定理可得：

，

又，则只需，

即，解得，则，

由三角形三边关系可得，可得，即，

因为，故，所以存在正整数为2，使得为钝角三角形.

18. 已知数列满足，

（1）记，写出，，并猜想数列的通项公式（无需证明）；

（2）求的前20项和．

【答案】（1），，；   

（2）300．

【解析】

【分析】（1）确定，得到是以2为首项，3为公差的等差数列，计算得到答案.

（2）利用分组求和法结合等差数列求和公式计算得到答案.

【小问1详解】

显然2n为偶数，则，，所以，

即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是，，．

【小问2详解】

．

19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；

（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．

【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，

所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．

（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则,

又为中点，所以.

由（1）得平面，所以平面的一个法向量

从而直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，

题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．

20. 某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.

（1）求乙未能参与面试的概率；

（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；

（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.

【解析】

【分析】（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.

【详解】（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

.

则的分布列为

故.

（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，

乙成为在职教师的概率.

因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.

【点睛】本题考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.

21. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

（1）求C的方程；

（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；

（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.

【小问1详解】

抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，

所以抛物线C的方程为；

【小问2详解】

[方法一]：【最优解】直线方程横截式

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，

若要使最大，则，设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线.

[方法二]：直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设,直线

由 得：，,同理，.

直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.

代入抛物线方程可得:所以，同理可得，

由斜率公式可得：

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.

[方法三]：三点共线

设，

设,若 P、M、N三点共线，由

所以，化简得，

反之，若,可得MN过定点

因此，由M、N、F三点共线，得，

      由M、D、A三点共线，得，

      由N、D、B三点共线，得，

则，AB过定点（4,0）

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，所以直线.

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．

22. 已知函数.

（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论方程根的个数.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围；

（2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论.

【详解】（1），定义域为，

由题意知对任意的恒成立，

即，，故.

因此，实数的取值范围是；

（2），即，设，

则，

当时，，函数在上单调递增，

，，故函数有唯一零点；

当时，，

令，得或；令，得.

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

极大值为，

设，则恒成立，

故函数单调递增，故，

故函数在上无零点.

，，

故函数在上有唯一零点.

综上所述，当时，方程有且仅有一个根.

【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.