2022-2023学年广东省鹤山市第一中学高一下学期第一阶段测试数学试题含解析

2022-2023学年广东省鹤山市第一中学高一下学期第一阶段测试数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，即可求出复数z的虚部.

【详解】因为，

所以．

所以z的虚部为-2．

故选：B.

2．设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】D

【分析】利用向量共线定理逐一判断即可.

【详解】对于A：，和共线，A错误；

对于B：，和共线，B错误；

对于C：，和共线，C错误；

对于D：不存在实数使，和不共线，D正确.

故选：D.

3．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个黑球与至少有1个红球

C．至少有1个黑球与都是红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

【答案】D

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析即可求解.

【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；

“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；

“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；

“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，

故选：.

4．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误，

故选:B.

5．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可.

【详解】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种，

故所求概率．

故选：B.

6．如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据和可得，结合B、D、C三点共线可得，即可求解.

【详解】因为是线段AD的中点，且，

所以，

得，

又B、D、C三点共线，

所以，得.

故选：A.

7．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.

【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.

因为，而,所以，

在直角中，因为，，所以，，

则，设，

所以，

所以，

因为二次函数开口向上，对称轴为，且，

所以当时，取最小值，当时，取最大值，

所以的取值范围是.

故选：C

8．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m，其中心О到水面的距离为2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为120s，当水车上的一个水筒A从水中（处）浮现时开始计时，经过后水筒A距离水面的高度为（单位：m，在水面下，高度为负数），则（    ）.

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】设经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为

，由题意求得参数，可得解析式，即可求得答案.

【详解】由题设，水车的角速度为 ,

又水车的半径为 ，中心O到水面的距离 ，

设经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为，

由题意可知,

由于时，水筒在处，即，

即，由于，故取，

故t（单位：s）后水筒距离水面的高度可表示为 ，

，

故选︰.

二、多选题

9．某校为做好疫情防控，每天早中晩都要对学生进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则（    ）

A．甲同学体温的极差为0.4℃

B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等

C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D．甲同学体温的第60百分位数为36.4℃

【答案】ABC

【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，甲同学体温的极差为℃，故A选项正确；

对于B选项，乙同学体温为，其众数为36.4℃，中位数、平均数均为36.4℃，故B选项正确；

对于C选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为36.4℃，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为℃，大于乙同学的体温极差℃，而且从图中容易看出乙同学的数据更集中，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；

对于D选项，甲同学的体温从小到大排序为，，故甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，故D选项错误.

故选：ABC

10．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用向量的加减法则进行判断.

【详解】根据向量减法可得，故A正确；

因为是的中点，所以，故B正确；

由题意知是的重心，

则，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

11．已知函数，则（    ）

A．最小值为

B．关于点对称

C．最小正周期为

D．可以由的图象向右平移个单位得到

【答案】BCD

【分析】对于AC，利用三角函数的恒等变换化简，从而得以判断；

对于B，利用代入检验法进行检验即可；

对于D，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.

【详解】对于A，因为，

所以的最小值为，故A错误；

对于B，因为，所以关于点对称，故B正确；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，的图象向右平移个单位得到的的图象，故D正确.

故选：BCD.

12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点M在直线BC上

B．若＝＋，则点M是三角形的重心

C．若，则点M在边BC的中线上

D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

【答案】ABD

【分析】对选项A，根据题意得到，从而得到三点共线，即可判断A正确，对选项B，设为的中点，根据条件得到，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到在的平分线上，即可判断C错误，对选项D，设，根据题意得到三点共线，即可判断D正确.

【详解】对选项A，，所以，即.

所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上，

故A正确.

对选项B，设为的中点，所以，

所以点是的重心，故B正确.

对选项C，因为，则在的平分线上，

不一定在的中线上，故C错误.

对选项D，因为，且，

所以，且，

设，则，且，

即三点共线.

又因为，所以为的中点，如图所示：

所以，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，则__________.

【答案】25

【分析】利用对称得到复数，再利用复数的乘法求解.

【详解】解：因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，

所以，

则，

故答案为：25

14．已知，则________．

【答案】

【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.

【详解】两边平方得：

，

解得：.

故答案为：

15．的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为_________．

【答案】/

【分析】由题意可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】由可得：，则，

由余弦定理可得，

因此，.

故答案为：.

16．已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为___．

【答案】

【分析】利用投影向量定义即可求得在方向上的投影向量.

【详解】，，与的夹角为，

则在方向上的投影向量为

故答案为：

四、解答题

17．已知向量,.

(1)当时,求；

(2)当，，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【详解】（1）向量,，则，.

由,可得即，即，

解得或,当,则,则,所以，

当，， ，综上    .

（2）由,,则

由,可得,解得,

所以,,

又,所以.

18．已知，.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系，进行弦化切，代入即得结果；

(2)由，结合所给的角的范围，利用两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.

【详解】（1）∵，

∴，解得.

∴；

（2）∵，且，∴，

∴，

∴，又，

∴，∴.

∴，

又∵，

∴.

19．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．

(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；

(2)求，，，；

(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．

【答案】(1)详见解析；

(2)详见解析；

(3)选A品种，理由见解析.

【分析】（1）利用极差和中位数定义即可求得这两个品种产量的极差和中位数；

（2）利用平均数和方差定义即可求得，，，；

（3）从平均产量和产量的稳定程度综合考虑选择A品种.

【详解】（1）A品种10棵产量由小到大排列为，

则A品种产量的极差为50，中位数为75；

B品种10棵产量由小到大排列为，

则B品种产量的极差为60，中位数为75.

（2）,

，

，

，

（3）由可得A，B两个品种平均产量相等，

又，则A品种产量稳定，故选择A品种.

20．从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1)这一组的频数､频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､中位数.

(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

【答案】(1)0.1，4

(2)68.5，70

(3)

【分析】（1）由频率分布直方图求出这一组的频率，由此求出这一组的频数；

（2）由频率分布直方图能估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；

（3）利用列举法列出样本总数和基本事件总数，即可算出概率.

【详解】（1）解：根据题意，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

则这一组的频率为，

其频数为；

（2）解：这次竞赛的平均数为，

分左右两侧的频率均为，则中位数为；

（3）解：记“取出的人在同一分数段”为事件，

因为之间的人数为人，设为､､､，

之间有人，设为、，

从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，

其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，

则.

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由三角恒等变换可得，故可求最小正周期；

（2）由三角函数的图象变换可得，令，可转化为与的图象在上有两个交点, 画出在上的图象，由图象即可求实数的取值范围.

【详解】（1）

,

故函数的最小正周期为.

（2）将函数的图象向下平移个单位长度，得到的图象，

再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象.

当时，，令,

当时,方程有两个不等的实根，

即与的图象在上有两个交点,

画出在上的图象如图所示：

由图可得，

故实数的取值范围为.

22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，求面积的最大值及此时边b，c的值．

【答案】(1)

(2)最大值为，，

【分析】（1）利用正弦定理、和角的正弦公式以及三角形的性质进行求解.

（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式计算求解.

【详解】（1）在中由正弦定理得：，，

所以，即，

化简得：，

即，∵，

∴，∴，

∵，∴.

（2）由余弦定理得，又，，

∴，

又，∴，

当且仅当时，取到等号.

则，

∴的面积最大值为，当且仅当时等号成立，

即此时，.