2022-2023学年广东省广州市第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省广州市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数纯虚数，则实数（    ）.

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据纯虚数的定义列方程求即可.

【详解】∵复数为纯虚数，

，，

.

故选：B.

2．已知是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数（    ）.

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.

【详解】由已知，

∵与是共线向量，

∴存在，使，又，，

即，

∴，

∴，

所以，

故选：D.

3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．3

【答案】A

【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.

【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，

所以，解得.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.

4．已知向量，，若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积坐标运算公式以及向量模的坐标表示，列出关于的方程，从而可得结果.

【详解】因为向量，，

所以，，

又，

所以，

所以，即.

故选：D.

5．若复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算化简，求出，即可得出的虚部.

【详解】因为，

所以，故的虚部为.

故选：B.

6．如图，在中，弦AB的长度为2，则的值为（    ）.

A．与半径有关 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】设圆C的半径为r，，则，然后可得答案.

【详解】设圆C的半径为r，，

连接圆心与线段的中点，

则，所以，

∴.

故选：C.

7．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：在中，，

在中，，

在中，由余弦定理得，

即，

所以，

解得，

故选：C

8．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（    ）

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】A

【分析】由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.

【详解】由题意且，而x＝，y＝，

所以，

又G是△ABC的重心，故，

所以，可得，即.

故选：A

二、多选题

9．实数满足，设，则下列说法正确的是（    ）

A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．

C．z的虚部是 D．z的实部是1

【答案】ABD

【分析】由条件结合复数相等的定义列方程求，由此可得，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.

【详解】实数满足，

可化为，

所以，解得，

所以，

对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确.

对于B，|z|=，故B正确.

对于C，z的虚部是1，故C错误.

对于D，z的实部是1，故D正确.

故选：ABD.

10．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得

B．在中，若，则点为边上的中点

C．已知，均为非零向量，若，则

D．若且，则

【答案】ABC

【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，

B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.

C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.

D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.

故选：ABC

11．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则直线a平行于平面内的无数条直线

B．若，，，则a与b是异面直线

C．若，，则

D．若，，则一定相交

【答案】AC

【解析】由题意得出或，不管是哪一种情况，都能在平面内找到无数条直线与直线平行即可判断A选项；

由题意得出直线与b没有交点，则与b可能异面，也可能平行，即可判断B选项；

由，得出直线与没有公共点，则，即可判断C选项；

当直线平行时，也满足题意，即可判断D选项.

【详解】A中，，，则或，所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确；

B中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故B错误；

C中，直线与平面没有公共点，所以，故C正确；

D中，直线与平面有可能平行，故D错误.

故选：AC

【点睛】本题主要考查了直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题.

12．现有满足，且的面积，则下列命题正确的是（    ）

A．周长为 B．三个内角A，C，B满足关系

C．外接圆半径为 D．中线的长为

【答案】AB

【分析】由已知可得，可得，利用余弦定理求，再求，结合面积公式求，可得周长，结合正弦定理可得外接圆半径，由此判断A，B，C，结合余弦定理求中线长，判断D.

【详解】因为，

所以，

设，则，

所以，

又，所以，又，

所以，B正确；

因为，所以，

所以，所以，

所以周长为，A正确；

设的外接圆的半径为，

由正弦定理可得，

所以外接圆半径为，C错误；

由余弦定理可得，

，

由，可得，

由已知，

所以，

所以，

所以，

中线的长为，D错误；

故选：AB.

三、填空题

13．已知平面向量，若，则__________.

【答案】0

【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，所以，

又，所以，解得；

故答案为：

四、双空题

14．已知是关于x的方程的一个根，则实数________，实数________.

【答案】         

【分析】由条件可得，根据复数相等定义列方程求即可.

【详解】∵方程的一个根，

∴

即.

∴解得.

故答案为：；.

五、填空题

15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．

【答案】

【详解】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．

【解析】几何体的体积的计算．

16．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.

【答案】

【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.

【详解】因为，为的角平分线，

所以，又，

故由三角形面积公式可得，

，

，

又，

所以，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以面积的最小值为.

故答案为：.

【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.

六、解答题

17．已知平面向量，，，．

(1)求；

(2)若，求实数k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据列方程求得，进而求得.

（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.

【详解】（1）因为，，且，

所以，则，故．

又因为，所以，

故．

（2）由（1）及条件，．

因为，所以，解得．

18．在中，角，，的对边分别为，，，且，.

(1)若，求的值；

(2)若的面积为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理求解即可；

（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.

【详解】（1）由题意在中，，，，

由正弦定理可得.

（2）由，，，即，

解得，

由余弦定理，

可得.

19．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形.

(1)求该几何体的体积（单位：）；

(2)求该几何体的表面积（单位：）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出球体的半径，圆锥的底面半径、母线长以及高，利用球体与锥体的体积公式可求得该几何体的体积；

（2）利用球体的表面积以及圆锥的侧面公式可求得该几何体的表面积.

【详解】（1）解：球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高，

所以，该几何体的体积为.

（2）解：该几何体的表面积为.

20．已知的内角的对边分别为，且，.

（1）求；

（2）求的周长.

【答案】（1）；（2）9．

【分析】（1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得；

（2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得，从而得三角形周长．

【详解】（1）因为，所以，，

因为，所以，；

（2）因为.所以，

又，即，，所以，，

所以．

【点睛】关键点点睛：本题考查余弦的二倍角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理等．解题关键是利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得边长．

21．在平面四边形ABCD中，，，，，△BCD的面积为．

(1)求的值；

(2)求边BC的长．

【答案】(1)

(2)14

【分析】（1）由已知结合同角平方关系先求出，然后结合三角形内角和及诱导公式即可求解；

（2）在△ABD中，由正弦定理，结合诱导公式可求得，结合三角形的面积公式可求得，最后利用余弦定理可求解.

【详解】（1）解由题意得：

在△ABD中，因为

所以

故

．

（2）由（1）得

又，所以．

在△ABD中，由正弦定理，

因为，所以

在△BCD中，

所以．

22．已知的面积为，且.

（1）求；

（2）若点为边上一点，且与的面积之比为1:3.

①求证：；

②求内切圆的半径.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【详解】试题分析：（1）由面积公式确定，再由余弦定理确定，然后结合正弦定理即可得到；

（2）①由勾股定理易得二者垂直；②利用面积公式建立半径方程，解之即可.

试题解析：（1）∵的面积为，∴，

∴

由余弦定理得，∴，

∴由余弦定理得

（2）①∵与的面积之比为，∴，

由余弦定理得，

∴，∴即

②（法一）在中，

（法二）设的周长为，由得

【解析】解三角形.