2022-2023学年广东省茂名市第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省茂名市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先求，再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.

【详解】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限，

故选：D.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得.

故选：D.

3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则c等于（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理求解

【详解】由余弦定理得，即，解得

故选：A

4．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图的面积为2，则原梯形的面积为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】根据，可求出原梯形的面积.

【详解】由斜二测画法知，，又，

.

故选：.

【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.

5．为了得到函数的图象，可以将函数图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移π个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移π个单位

【答案】A

【分析】利用和角的正弦公式化简函数式，再利用三角变换方法求解作答.

【详解】依题意，，

所以函数图象向左平移个单位可得的图象.

故选：A

6．在空间中，下列命题正确的是（    ）

A．三点确定一个平面

B．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行

C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

【答案】C

【分析】根据平面、线面平行、线线平行、异面直线等知识确定正确选项.

【详解】A，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，A错误.

B，，与内的直线可以平行、异面，B错误.

C选项，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，C正确.

D选项，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能在这个平面内，D错误.

故选：C

7．在中，已知，那么一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【解析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可

【详解】解：已知，

则：，

整理得：，

则：，

所以：.

故选：B

8．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的最小值是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．

【详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，

是边上一点，当时，取得最小值，故选．

【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．

二、多选题

9．复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A．z的实部是  B．z的共轭复数为

C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】ACD

【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；

又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；

由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；

由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．  D．向量在上的投影向量为

【答案】BD

【分析】根据向量的坐标运算，以及向量模、夹角公式和投影向量的计算方法，逐项判定，即可求解.

【详解】因为向量，，可得，

所以，所以A错误；

由，所以B正确；

由向量的夹角公式，可得，所以C错误；

由向量在上的投影向量为，故D正确．

故选：BD.

11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ）

A．若 ，则 ；

B．若，则一定为等腰三角形；

C．若，则为直角三角形；

D．若为锐角三角形，则 .

【答案】AC

【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.

【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；

对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；

对于C，，

则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；

对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.

12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　）

A．直三棱柱的体积是1

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置有关

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．

【详解】在直三棱柱中，，，，

所以其体积，

故A正确；

对于B，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，

其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，

所以其外接球半径为，

所以其外接球的表面积为，

故B错误；

由平面，且点E是侧棱上的一个动点，

，

三棱锥的高为定值，

，

，

故三棱锥的体积为定值，故C错误；

将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，

此时，连接与相交于点E，此时最小，

即，

故D正确．

故选：AD.

三、填空题

13．设复数z满足（其中i是虚数单位），则______．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.

【详解】,

故，

故答案为：

14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为______．

【答案】

【分析】先算出母线长，就可以算侧面积的扇形面积

【详解】

如图，圆锥的母线，

圆锥的展开侧面为扇形，故侧面积为

故答案为：

15．非零向量，，若与共线，则_________．

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标表示可得的值，然后由正切的两角差公式可得.

【详解】解：∵非零向量与共线，∴，显然，所以，

∴．

故答案为：

16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）.在斜中，分别为内角所对的边，若，且.则此面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值．

【详解】解：∵，∴，

即，

即，

又且，则，

∴，∴，

又，所以，解得，

∴，

∴时，．

故答案为：．

【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．

四、解答题

17．已知向量，

（1）若，求的坐标；

（2）若与垂直，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；

（2）由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．

【详解】（1）.

（2）

与垂直，，即，

∴.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、考查向量垂直的坐标表示，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；

（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）由整理得，

，由，

；

（2），

由正弦定理得，①，

又，②，

由①②得，

.

19．（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积

（2）如图（单位：cm），求下图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设为与交点，则平面，进而根据几何关系得，再计算几何体的体积即可；

（2）根据圆台的体积与球的体积公式求解即可.

【详解】解：（1）如图，正四棱锥中，设为与交点，

所以由正四棱锥的性质得平面，所以，

因为正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，

所以，，

所以，即正四棱锥的高为

所以，该正四棱锥的体积为

（2）根据题意，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体为圆台中挖去一个半径为的半球构成的组合体.

因为圆台的体积为，半球的体积为，

所以，所求几何体的体积为.

20．已知函数．

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，化简得到，利用最小正周期的公式和三角函数的性质，即可求解；

（2）由，求得，结合，即可求解.

【详解】（1）解：由

，

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以的单调递减区间为.

（2）解：由，可得，可得，

因为，可得，所以，解得.

21．如图，在四棱锥P-ABCD中，E是线段PD上的点，且，PA=PD=AD=3，，，∠ADC=45°．

(1)求证：平面PAB；

(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？若存在，求出MN的最小值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，1

【分析】（1）在PA上取点F使，连接EF，BF，由线面平行的判定定理即可证明.

（2）在AD上取点N使，连接CN，EN，由线面平行的判定定理和性质定理即可证明.

【详解】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF．

∵，

∴且，

又，且，

∴，EF=AD，

∴四边形BCEF为平行四边形，

∴，

而平面PAB，平面PAB，则平面PAB．

（2）线段AD上存在点N且，使得平面PAB．

理由如下：

如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN．

∵，，

∴．

∵平面PAB，平面PAB，

∴平面PAB．

由（1）知平面PAB，又，

∴平面平面PAB，又M是CE上的动点，平面CEN，

∴平面PAB，

∴线段AD上存在点N，使得平面PAB．

∵，BC=AN，

∴ND=2．

在中，∠ADC=45°，，由余弦定理知CN=2．

在中，CN=NE=2，，

∴由余弦定理知∠CNE=120°，

∴MN的最小值为，

∴线段AD上存在点N，使平面PAB，且MN的最小值为1．

22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记.

(1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积；

(2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.

【答案】(1)，，平方米

(2)212.5平方米

【分析】（1）根据题意画出图形，在由已知条件结合图形即可求出， 及矩形观赏台的面积；

（2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为的函数，，利用三角函数求最值.

【详解】（1）由题意如图所示：

则由题意知，

当时， 则.

.

∵，，

∴.

因为.

矩形的面积平方米.

所以矩形观赏台的面积平方米.

（2）由题意可知，，，，，

在中，由，

得.

矩形MNPQ的面积：.

观赏台的面积：.

整个观赏台面积.

设，，

∴.

.

∴.

∴

  当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方

∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米.