2022-2023学年广东省江门市第一中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年广东省江门市第一中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和的正切公式求得正确结论.

【详解】

.

故选：B

2．已知向量，且，则实数（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出和的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出实数的值.

【详解】依题意，，，

由，得，解得，

所以实数.

故选：D

3．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出投影向量作答.

【详解】因为，所以在方向上的投影向量为.

故选：C

4．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用平移变换求出函数解析式作答.

【详解】函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为：

.

故选：D

5．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，，则b 等于（    ）

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】B

【分析】利用正弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得.

【详解】依题意，，

，

，

由正弦定理得，

由余弦定理得，，或（舍去）.

故选：B

6．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬，今年月日正午太阳刚好直射赤道（纬度为度），如果在武汉某学校有高度为的旗杆，月日正午时旗杆影子长是旗杆高的（    ）倍？

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】D

【分析】计算出的值，设影子长为，可得出，即可得解.

【详解】由已知可得，，则，

设影子长为，则，所以，.

故选：D.

7．函数的部分图象如图所示．若，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再求出作答.

【详解】观察图象知，函数的周期，则，

又，即有，而，因此，，

由，即，，，得或，

解得或，而，，则，，

所以.

故选：C

8．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ）

A．16 B．12 C．5 D．4

【答案】C

【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.

【详解】如图，延长到D，使得．

因为，所以点P在直线上．

取线段的中点O，连接，

则．

显然当时，取得最小值，

因为，则，所以，

所以的最小值为．

故选：C.

二、多选题

9．下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【答案】AD

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.

故选：AD.

10．如图，在边长为2的菱形中，，点是中点，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据给定的菱形，利用向量的线性运算、数量积运算逐一分析、计算判断作答.

【详解】在边长为2的菱形中，，点是中点，则，，

对于A，，因此，A正确.

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，由选项A知，，D错误.

故选：AC

11．已知中，角所对的边分别为，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（    ）

A． B．

C． D．的三条高分别为

【答案】BCD

【分析】应用二倍角公式及正弦定理化简可以判断A,根据同角三角函数关系可以判断B,

应用两角和差正切公式及正切值正负判断C,根据面积公式结合余弦定理可以判断D.

【详解】对于A，由正弦定理得，,又，

化简得0，所以为直角三角形，故A错误；

对于B，将平方化简得，故为钝角，为钝角三角形，故B正确；

对于C,因为,，

则角中必有一个角为钝角，为钝角三角形，故C正确；

对于D，假设边上的高分别为，则，

设，则，所以由余弦定理得，

所以为钝角，为钝角三角形，故D正确．

故选：BCD．

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．的图象的一条对称轴方程为

C．的最小正周期为

D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】计算与的值判断A；计算判断B；计算判断C；化函数为，再求出最大值判断D作答.

【详解】函数，

对于A，当时，，则在上不单调，A错误；

对于B，，

于是的图象的一条对称轴方程为，B正确；

对于C，，

显然不存在比小的正常数，使得恒成立，于是的最小正周期为，C正确；

对于D，，

令，则函数在上单调递增，当时，，

所以当，即时，取得最大值.

故选：BCD

三、填空题

13．已知平面向量，则向量与的夹角为__________.

【答案】

【分析】根据结合数量积的坐标运算即可得解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以.

故答案为：.

14．点在角的终边上，则__________．

【答案】2

【分析】利用三角函数定义求出，再结合诱导公式、齐次式法求解作答.

【详解】因为点在角的终边上，则，

所以.

故答案为：2

15．在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______

【答案】

【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模．

【详解】由题意，

，

故答案为：．

16．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．

【答案】

【分析】设则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析得，即，进而可得、的值，结合余弦定理即可得结果．

【详解】在△中，设，则，又，

且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，

所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，

所以，即，

又，则，，.

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立判断出，即可确定三角形各边的长度.

四、解答题

17．已知向量.

(1)求和；

(2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？

【答案】(1)；；

(2)，反向.

【分析】（1）根据给定条件，利用向量运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.

（2）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）因为向量，则，，

所以，.

（2）依题意，，由（1）知，

由，解得，于是当时，与共线，

且，即有与方向相反，

所以当时，与共线，并且它们反向共线.

18．已知分别为三个内角的对边，且

(1)求A；

(2)若时，的面积为，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角化即可求解作答.

（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解作答.

【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，

而，因此，又，

所以.

（2）由（1）知，，由的面积为得：，即，

由余弦定理得：，

即有，联立解得，

所以.

19．已知函数，.

（1）求的最小正周期和单调减区间；

（2）若（）为的一个零点，求的值.

【答案】（1），单调递减区间为；（2）

【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解；

（2）由可得，然后利用求解的值.

【详解】解：（1）

则的最小正周期为.

令得，，

所以函数的单调递减区间为.

（2）若，则，即，

又，所以，所以，

所以

.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题，考查利用三角恒等变换求三角函数值，难度一般. 解答时，辅助角公式，三角恒等变换公式的运用是关键.

20．已知平面向量，若存在不同时为零的实数和，使，，且

(1)试求函数关系式．

(2)若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算法则求解作答.

（2）利用（1）的结论结合已知等式，等价变形并借助二次函数求解作答.

【详解】（1）向量，则，

，由，

得，

于是，而实数和不同时为零，即有，

所以函数关系式.

（2）当时，，

依题意，方程在上有两个不同的解，

即函数在上有两个零点，

因此，解得，

所以实数的取值范围是.

21．如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求．

(1)当时，求线段的长度；

(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）

【答案】(1)

(2)设计时，工厂产生的噪声对居民影响最小

【分析】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值.

【详解】（1）因为且，

故，故，

故，则

（2）设，由题意，

在中，由正弦定理，所以

在中，由余弦定理可得：

，

又由（1）可得，所以，

当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时

22．设为坐标原点，定义非零向量(其中为实数)的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.

（1）设函数，求的“相伴向量”；

（2）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先化简h(x)，再根据定义即可得出答案；

（2）分别讨论，，，且均不为0四种情况；当且均不为0时结合辅助角公式化简，求出x0，再结合求函数值域的方法求出的范围.

【详解】解：（1）证明：∵，

∴的相伴向量.

（2）解：若，则，此时向量的“相伴函数”，

∴或者，此时，

若，则，此时向量的“相伴函数”，

∴或者，此时，

当时，不成立，

若，，，

向量的“相伴函数”，

其中，，，

当，，即时取得最大值，

∴，

∴，

令，则，

∴，解得或或，

经检验时，不成立，

∴，函数在或或上的值域为.

综上，的取值范围是.

【点睛】①在求相伴函数时一定要讨论a，b；②求范围或者值域（最值）时，如果式子比较复杂我们通常用换元法，比如这道题中的和，最终需要结合不等式、函数图像或者导数求出范围.