2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期期中数学试题含解析

陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知i为虚数单位，，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】求出代数形式，再利用复数相等列方程求解即可.

【详解】，

，

解得，

.

故选：D.

2．已知向量，，，若，则（    ）

A． B．3 C． D．5

【答案】B

【分析】先求出的坐标，再利用列方程求.

【详解】由已知得，

，且，

，

解得.

故选：B.

3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.

【详解】因为，

所以，

又，所以，

因为，由正弦定理得，

则，

则，

所以为有一个角为的直角三角形.

故选：B.

4．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】求出复数的代数形式，则可得共轭复数在复平面内对应的点，进而可得点的位置.

【详解】，

的共轭复数在复平面内对应的点为，在第四象限.

故选：D.

5．已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据同方向单位向量的求法求得正确答案.

【详解】，，

所以向量同方向的单位向量为.

故选：D

6．已知为锐角，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过条件求出的范围，利用同角的平方关系求出，构角，再利用两角差的余弦公式即可求出结果.

【详解】，

，又，

，

，

.

故选：C.

7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（    ）

A．32π B．48π C．64π D．80π

【答案】B

【分析】根据题意计算母线长为，再利用圆台的侧面积公式计算得到答案.

【详解】圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，

设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，

由题意可得：，解得，

所以圆台的侧面积.

故选：B.

8．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得的取值范围，利用向量数量积的运算求得的取值范围.

【详解】设分别是的中点，则，

由于在三角形内（包括边界），且，

所以点的轨迹是，所以.

.

故选：B

9．三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，其中，利用勾股定理可求得，并求出的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.

【详解】设，其中，如下图所示：

因为平面，平面，所以，，

因为，所以，，

又因为，所以，，

由可得，，

，

当且仅当时，即当时，该三棱锥体积取最大值为.

故选：D.

10．在直三棱柱中，，，点P为的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（    ）

A．. B． C． D．

【答案】A

【分析】如图，分别取的中点，连接，易得四面体PABC的外接球的球心在上，利用勾股定理求出半径，再根据球的体积公式即可得解.

【详解】如图，分别取的中点，连接，

则，

因为平面，所以平面，平面，

因为，所以即为外接圆的圆心，

所以四面体PABC的外接球的球心在上，

设，四面体PABC的外接球的半径为，则，

，

则，解得，

所以，

所以四面体PABC的外接球的体积为.

故选：A.

【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型：

第一种模型为常见墙角模型，此时将三棱锥看作长方体中的一个部分，将长方体进行补全之后就可以找到外接球半径与长方体三边之间的关系.

第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，方法同样将其补形为长方体，我们可以通过画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对边，然后通过每一组在直角三角形中的满足勾股定理的形式而列出方程，然后再将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，继而可以求出外接球的半径.

第三种模型为确定球心来构造直角三角形，这种模型最关键的就是利用底面三角形的外心来确定球心，然后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，在直角三角形当中来求出球的半径.

二、多选题

11．已知函数，则（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

D．函数在上的最小值为－1

【答案】AC

【分析】根据三角函数的奇偶性、单调性、图象变换、诱导公式、最值等知识确定正确答案.

【详解】A选项，为奇函数，A选项正确.

B选项，由于，

所以在上不是单调函数，B选项错误.

C选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，

C选项正确.

D选项，，

所以在上的最小值为，

D选项错误.

故选：AC

12．在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（    ）

A．平面  B．

C．平面 D． 、、、四点共面

【答案】ABD

【分析】把正四面体放到正方体里，对于A项，根据线面平行的判定定理证明；对于B项，从正方体的角度上看易得；对于D项，证明四边形是平行四边形可验证；对于C项，反证法证明，假设平面成立，证得，与为等边三角形矛盾.

【详解】如图，把正四面体放到正方体里，

对于A项，因为分别为，的中点，

所以，

又平面且平面

所以平面，

故A正确.

对于B项，从正方体的角度上看易得，

故B正确.

对于D项，因为、、、分别是棱，，，的中点，

所以且，且，

所以且，

所以四边形是平行四边形，故、、、四点共面，

故D正确.

对于C项，若平面成立，即平面.

又因为平面，

所以.

又因为、分别为，的中点，

所以，所以.

而为等边三角形，与矛盾，

故C不正确.

故选：ABD

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则△ABC是钝角三角形

C．若，，则△ABC面积的最大值是

D．若，则△ABC为直角三角形

【答案】ABC

【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，当时，由正弦定理得，

在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确.

B选项，当时，由正弦定理得，

所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确.

C选项，由余弦定理得，

当且仅当时等号成立，所以，

所以三角形面积的最大值是，C选项正确.

D选项，若，则，

，所以D选项错误.

故选：ABC

14．已知正方体的棱长为4，点E，F，M分别是BC，，的中点，则（    ）

A．直线，EF是异面直线 B．四面体的外接球表面积为

C．三棱锥的体积为 D．平面截正方体所得截面的面积为18

【答案】ABD

【分析】对于A，取的中点，连接，证明即可判断；对于B，四面体的外接球的直径即为正方体的体对角线，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可判断；对于C；连接，则，证明平面平面，从而可求得三棱锥的高，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于D，延长交的延长线于，连接交于，由此可得截面图形，在计算出截面的面积即可判断.

【详解】对于A，取的中点，连接，

因为点为的中点，

所以，

又因平面，而与平面交于点，

所以直线，EF是异面直线，故A正确；

对于B，四面体的外接球的直径即为正方体的体对角线，

设其半径为，

则，所以，

则表面积，故B正确；

对于C，连接，则，

因为平面，平面，所以，

又平面，

所以平面平面，

由为的中点，得三棱锥的高为，

，

所以，故C错误；

对于D，如图，延长交的延长线于，连接交于，连接，

因为，为的中点，则，所以，

所以为的中点，

因为，所以，所以，

所以点为的中点，

所以，

因为，，

所以四边形为平行四边形，所以，

所以，

则平面截正方体所得截面为等腰梯形，

，

则等腰梯形的高为，

所以等腰梯形的面积为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型：

第一种模型为常见墙角模型，此时将三棱锥看作长方体中的一个部分，将长方体进行补全之后就可以找到外接球半径与长方体三边之间的关系.

第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，方法同样将其补形为长方体，我们可以通过画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对边，然后通过每一组在直角三角形中的满足勾股定理的形式而列出方程，然后再将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，继而可以求出外接球的半径.

第三种模型为确定球心来构造直角三角形，这种模型最关键的就是利用底面三角形的外心来确定球心，然后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，在直角三角形当中来求出球的半径.

三、填空题

15．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____________.

【答案】

【分析】先根据复数的乘法运算求出复数的代数形式，再求模即可.

【详解】由已知，

.

故答案为：.

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为_____________.

【答案】

【分析】用余弦定理求得后可得周长．

【详解】已知，，，

由余弦定理得，

所以，即

，则，

三角形周长为．

故答案为：．

17．已知点M在直线BC上，点A在直线BC外，若，且，，则的最小值为_____________.

【答案】/

【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值．

【详解】由，

  ，

∴ ，即，

∴ ，

在中，当时，最小，

当时，由面积法得 ，解得，

所以的最小值为.

故答案为：.

18．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，且满足，则的取值范围为_____________.

【答案】

【分析】根据题意利用正、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数性质分析运算.

【详解】∵，由正弦定理可得，

则，

∵，则，可得，

即，故，

由正弦定理，则，

可得

，

∵锐角△ABC，且，则，解得，

则，可得，

∴，

故的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

19．已知，，且与夹角为，求：

(1)；

(2)与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用来计算求；

（2）设与的夹角为，先求出，再利用向量夹角公式来计算即可.

【详解】（1）由已知可得，

；

（2）设与的夹角为，

又，

.

20．从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .

(1)求角B的大小；

(2)若，，求△ABC的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选条件①，先利用余弦定理可得，再利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；

选条件②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

选条件③，利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式化简即可得解；

（2）先利用余弦定理求出边，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】（1）选条件①，由，

得，

则由余弦定理得：，

由正弦定理得：，

则，

因为，则，所以，

又因为，所以；

选条件②，∵，

正弦定理得：，整理得，

则由余弦定理得，

因为，所以；

选条件③，∵，

由正弦定理得，

因为，则，所以，

即，

因为，则，

所以，所以；

（2）由，

得，解得（舍去），

所以.

21．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：

(1)平面；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，即可得到，从而得证；

（2）由直棱柱的性质得到平面，从而得到，再由，得到平面，从而得到平面，即可得到，再由正方形对角线互相垂直得到，即可得到平面，即可得证.

【详解】（1）连接，设与的交点为，连接．

直三棱柱，，

四边形为正方形，

为中点，

是的中点，

．

平面，平面，

平面．

（2）在直三棱柱中，平面，平面，

所以，

又，，平面，

所以平面，又，所以平面，

又平面，所以，

又四边形为正方形，所以，

又，平面，所以平面，

平面，所以.

22．已知向量，，且函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据正弦函数的单调性求解即可；

（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数的性质求解即可.

【详解】（1）因为向量，且函数，

所以，

令，解得，

所以函数的单调增区间为；

（2）因为，

所以，

即，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

，

由，得，所以

所以.

23．某地在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽，单位为.，.

(1)当时，求四边形的面积；

(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.

【答案】(1)

(2)，，的最小值为

【分析】（1）分析可知为等腰三角形，为等边三角形，求出、的长，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；

（2）根据正弦定理得到，，根据计算得到答案.

【详解】（1）解：当时，且，，所以，，

所以，为等腰三角形，且，

所以，，则为等边三角形，

所以，，

在中，由正弦定理可得，所以，，

所以，四边形的面积为

.

（2）解：因为，，则，

，，

在中，由正弦定理可得，所以，，

在中，由正弦定理可得，

，

所以

，

则，

因为，所以，

所以当时，取最小值为.