2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合中所含元素的个数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以中含6个元素．

故选：C.

2．已知命题：，：为偶函数，则是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】求出命题的充要条件，然后确定题中选项．

【详解】为偶函数，则恒成立，

，，，整理得，所以．

所以是的充分必要条件．

故选：C．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断．掌握充分必要条件的概念是解题关键．

3．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】当即时，恒成立，满足题意，

当时，由题意得，解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

4．若函数为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.

【详解】由函数为奇函数，可得，

所以，

所以，化简得恒成立，

所以，即,

经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；

故选:A．

5．已知，则的值为（    ）

A．2 B．－2 C． D．

【答案】D

【分析】利用完全平方公式进行计算.

【详解】，

所以.

故选：D

6．已知，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法即可求出函数的解析式．

【详解】∵

∴令，则

∴

∴

故选：D．

7．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】先求出的定义域，再根据可得的定义域.

【点睛】因为函数的定义域是，

即，

即的定义域为，

又，得，

的定义域是.

故选：D.

8．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由奇函数性质可知，由此可得；利用可求得结果.

【详解】由题意知：，解得：，

.

故选：C.

9．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过换元令,函数可变为将恒成立可转化为在上恒成立.即，大于0恒成立，通过对与区间之间的关系讨论得出结果.

【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有．①当，即时，函数在上单调递增，，由，得，因此．

②当，即时，，由，得，因此．

③当，即时，函数在上单调递减，，由，得，与矛盾．

综上，．

故选：C．

10．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.

【详解】解不等式，得或

解方程，得，

（1）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，

若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；

（2）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，

若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；

综上，可知的取值范围为

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

二、多选题

11．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.

【详解】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，

在上是增函数，故A正确；

对B，为奇函数，故B错误；

对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；

对D，令，为偶函数，

当，为减函数，故D错误，

故选：AC

12．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.

【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，

故选:AC

13．已知，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：对于A：由，，，则，

所以，解得，

所以，

所以当时，有最小值，故A正确．

对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，

所以的最大值是，故B正确；

对于C：由，，，则，所以，解得，

所以，因为，所以，

所以，所以，即，故C错误；

对于D：，

当且仅当，即，时取等号，故D错误；

故选：AB

14．已知函数的图象关于对称，且对，，当，时，成立，若对任意的恒成立，则a的可能取值为（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】BC

【分析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．

【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.

又时，成立，所以函数在上是单调增函数.

且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，

当时，恒成立，当时，，

又因为，当且仅当时，等号成立，

所以，因此，

故选：BC.

三、填空题

15．化简的结果是________．

【答案】

【分析】根据根式的运算性质计算即可.

【详解】

故答案为：

16．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.

【答案】

【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．

【详解】如图所示：

设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，

设围成的整个矩形场地的面积为，

所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.

故答案为：

17．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____．

【答案】

【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．

【详解】命题“，使”是假命题，

则命题，恒成立为真命题，

所以当时，，不恒成立，

当时，需满足可得，

解得，

故的范围为．

故答案为：．

18．已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.

【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；

当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，

解得，

故；

当时，要使存在最小值，

还需：，因为，所以无解

综上的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

19．已知，，．

(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

(2)若是r的必要条件，求m的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；

（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：由，即或，

设，，

因为p是q的必要不充分条件，

所以集合是集合的真子集，

所以；

（2）解：由，即，

，

设，

因为是r的必要条件，

所以，

所以，解得，

所以m的最大值为.

20．已知函数.

(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；

(2)求函数在上的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据定义证明函数单调性即可.

（2）根据题意得到函数为奇函数且上为减函数，从而得到，即可得到结果.

【详解】（1）证明：设对任意的，则

由题设可得，，

，即.

故函数在上为减函数..

（2）由题知，

又的定义域为关于原点对称，

是奇函数.

又由（1）得在上为减函数，

在上也是减函数.

函数在上的最大值为.

21．已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)求；

(2)已知，正数满足，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)最小值为4.

【分析】（1）首先求出集合，然后可得答案；

（2）首先可得，然后由结合基本不等式可得答案.

【详解】（1），解得，即，

，解得，，

所以.

（2）因为，所以，

，当且仅当时，取得最小值，最小值为4.

22．已知是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求的解析式；

(2)若使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的定义可求出时的解析式，即可得到答案；

（2）根据单调性定义证得在上单调递增，进而根据单调性与奇偶性将问题转化为，，再利用分离参变量的方法以及存在性问题转化为，，最后利用一元二次函数的性质求得最大值即可得到的取值范围．

【详解】（1）解：因为当时，，

所以，当，即时，则有，

因为是定义在上的奇函数，

所以，即，

则；

（2）解：当时，，设，则，

由，可得，，

则，即有，

所以在递增，且，

又为定义在上的奇函数，可得在上单调递增；

，

，

，，

，．

，．

令，．

由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，

所以，．

综上，的取值范围为．

23．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）

【答案】(1)车流密度的取值范围是

(2)隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.

【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；

（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.

【详解】（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），

代入，解得，

所以.

当时，，符合题意；

当时，令，解得，所以.

所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.

（2）解：由题意得，

当时，为增函数，所以，当时等号成立；

当时，

.

当且仅当，即时等号成立.

所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.