2022-2023学年江苏省宿迁市泗洪县第一高级中学高一下学期期中数学模拟试题含解析

2022-2023学年江苏省宿迁市泗洪县第一高级中学高一下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1．已知复数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得.

【详解】因为，因此，.

故选：B.

2．函数的零点所在的区间可以是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数的零点即为函数的交点的横坐标，作出函数的图象，根据函数图象可得函数零点的个数，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】令，则，

则函数的零点即为函数的交点的横坐标，

如图，作出函数的图象，

由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点

即函数的零点大于零，且只有一个零点，

又，

所以函数的零点所在的区间可以是.

故选：C.

3．已知，，则（    ）

A．共线 B．共线 C．共线 D．共线

【答案】C

【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数，由是否有解可得结论.

【详解】对于A，若共线，则，即，方程组无解，则A错误；

对于B，若共线，则，即，方程组无解，则B错误；

对于C，若共线，则，即，解得：，

共线，C正确；

对于D，若共线，则，即，方程组无解，则D错误.

故选：C.

4．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.

【详解】令，

因为与在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

，

所以在上有唯一零点，即，故，

所以方程的根落在区间上，

故选：B.

5．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故

，

，

，

故 ，

由于 ，故，

故选：C

6．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．

【详解】设，则，则，

则，

故选：．

7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，其中，若 ，则（   ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数定义求出，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.

【详解】依题意，，又，

解得，从而得，所以.

故选：D

8．在中，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到范围.

【详解】由已知可知，当时等号成立.

所以.

故选：A.

二、多选题

9．下列计算结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.

【详解】，A正确；

，B正确；

，C错误；

由，

可得

，D正确；

故选：ABD

10．在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（    ）

A．则为等边三角形；

B．已知，则；

C．已知，，，则最小内角的度数为；

D．在，，，解三角形有两解．

【答案】ABC

【分析】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；

【详解】解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；

对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．

对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；

对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解；

故选：ABC

11．下列说法正确的是（    ）

A．在△ABC中，，E为AC的中点，则

B．已知非零向量与满足，则△ABC是等腰三角形

C．已知，若与的夹角是钝角，则

D．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则

【答案】AB

【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用，表示出来再判断，对于B，由向量的加法法则判断，对于C，由题意可知，，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于D，如图，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积的万物复苏示运算求解

【详解】对于A，因为△ABC中，，E为AC的中点，

所以

,

所以A正确，

对于B，因为与是非零向量，所以所在的直线平分，

因为，所以，所以△ABC是等腰三角形，所以B正确，

对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由，得，得，当与共线时，，得，所以当与的夹角是钝角时，且，所以C错误，

对于D，如图，以为原点建立直角坐标，则由题意可得，

所以，所以，所以D错误，

故选：AB

12．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ）

A．的取值范围是

B．点经过的外心

C．点所在轨迹的长度为2

D．的取值范围是

【答案】ABD

【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.

【详解】由，又斜边，则，则，A正确；

若为中点，则，故，又，

所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；

由上，则，

又，则，当且仅当等号成立，

所以，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.

三、填空题

13．已知为第二象限角，若，则___

【答案】

【分析】由题意得，求得，又由为第二象限角，求得，再由诱导公式，即可求解.

【详解】由题意，可知，即，解得，

又由为第二象限角，所以，

又由.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米．若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为_______________米．

【答案】54

【分析】依题意作图，根据图中的几何关系解三角形即可.

【详解】

如上图，设该小区的住宅楼楼间距为米．由题意知米，米，

，∴，

即，解得或（舍）；

故答案为：54.

15．冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________.

【答案】6

【分析】依题意得通过计算化简得，则问题可解．

【详解】令由题意知，，

所以 得， 则

所以，解得，所以m的最小值为6

故答案为：6

【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．

16．在中，角所对的边分别为若对任意,不等式恒成立，则的最大值为___________.

【答案】

【详解】

,又

点睛：在解答三角形中关于边长的最值问题时，往往需要对其进行转化，转化为关于角的求值问题．利用正弦定理或者余弦定理进行转化，然后借助辅助角来求最值，本题具有一定的难度．

四、解答题

17．已知.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出.

【详解】（1）由，可得；

所以；

即

（2）由可得，

又，所以

由可得.

即的值为

18．如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．

（1）若，求；                                                   

（2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记的面积为，的面积为．若，求角的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据单位圆的性质可知，而，从而利用两角和的余弦可求的值.

（2）用的三角函数表示，根据可解出.

【详解】(1)由三角函数的定义，得

因，,

 则  

∴  

(2) 由已知，得

∴  

,得  

又,,   ∴

【点睛】在平面直角坐标系中，如果的终边与单位圆的交点为，则的坐标为，我们可以根据这个性质来沟通角的三角函数与和相关的几何量的关系.

19．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角，，的对边分别为，，且______，作，连接围成梯形中，，， 求梯形的腰的长.

【答案】4

【分析】选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得.在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得解.

【详解】选①，由得，

∴，

又，，

∴又，

∴；

选②，由得，

∴即，

∴又，

∴.

当时，

由，可得，

在中，由正弦定理可得：，得，

又

在中，由余弦定理可得：，

得.

20．已知，且

(1)求的值；

(2)证明：，并求的值．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）由题意求解出，再根据，代入两角和的余弦公式计算可得，由，可判断得；

（2）根据，函数在上单调递增，得，可证明得，再利用两角差的正弦公式代入计算即可.

【详解】（1）因为，，所以，由解得，，所以，，

，

因为，所以；

（2）因为，，且函数在上单调递增，所以，

所以，

．

21．如图，在中，，，，，.

(1)设在上的投影向量为，求的值；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用投影向量的计算公式即可求解；

（2）利用平面向量线性运算可得，利用转化法求解向量的模即可.

【详解】（1）解：∵在上的投影向量为，

∴

（2）解：，

，

∴.

22．已知，，，设

(1)若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为，求；

(2)当函数在定义域内存在，，使，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的坐标公式及辅助角公式将函数化简，再根据相邻的对称轴距离为求出，即可得解；

（2）分、、三种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得解.

【详解】（1）解：因为，，

所以

，

又因为函数相邻的对称轴距离为，

所以，即，解得，

所以.

（2）解：因为函数在上为“互补函数”，

函数在定义域内存在，使，即，

①当，即，解得，显然成立；

②当，即，解得时，显然不成立；

③当时，即时，

所以或者或者，

解得的取值范围为，

综上所述.