2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学（兰大附中）高二下学期阶段性测试数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学（兰大附中）高二下学期阶段性测试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数公式求出，进而可以求出结果.

【详解】.

.

故选:D.

2．设函数，则（    ）

A．5 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据瞬时变化率的求解方法即可求解.

【详解】

故选：A

3．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案。

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误；

，D正确，

故选：D

4．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

5．展开式中的常数项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.

【详解】展开式的通项公式为

，

令，可得，

故展开式的常数项为.

故选：A.

6．函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得在区间上恒成立，解出即可.

【详解】， 函数在区间上单调递减，

∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，

而 在区间上单调递减，，∴k的取值范围是 ，

故选：B．

7．若直线与函数和的图象都相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由切线方程得出切线斜率，进而可由函数的导数求出切点坐标，将两个函数的切点分别代入切线方程中，求出．

【详解】设直线与函数和的图象分别相切于点，

则由，得，令，得，

将代入中得，

由，得，令，得，

将代入中得，

所以．

故选：D

8．在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务，要求每个展区至少分配一人，每名志愿者只分配到一个展区，则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有（    ）

A．72种 B．54种 C．36种 D．18种

【答案】C

【分析】根据题意，分两步进行，先分组，再分配，再由分步计数原理即可得到结果.

【详解】根据题意，分两步进行，

①将5名志愿者分为3组，有两种分组方法，

若分组为的三组，且甲乙两名志愿者在同一展区，

则种方法，

若分组为的三组，且甲乙两名志愿者在同一展区，

则种方法，

所以共有种分组方法；

②再将分好的三组对应3个不同的展区，有种情况；

则共有种不同的分配方案.

故选:C

二、多选题

9．已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ）

A．圆与圆外切

B．直线与圆相切

C．直线被圆所截得的弦长为2

D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10

【答案】ACD

【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可.

【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2，

圆化为，圆心坐标为，半径为3.

因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.

圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.

圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.

若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.

故选：ACD

10．在的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256

C．常数项为84 D．有理项有2项

【答案】BC

【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.

【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；

由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；

展开式的通项为 ，令，解得．

故常数项为，故C正确；

有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．

故选：BC

11．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数的极大值为，极小值为

B．当时，函数的最大值为，最小值为

C．函数的单调减区间为

D．曲线在点处的切线方程为

【答案】AD

【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断ABC选项；利用导数的几何意义可判断D选项.

【详解】因为，则，

由可得，由可得或，

所以，函数的增区间为、，减区间为，C错；

函数的极大值为，极小值为，A对；

因为在上单调递增，所以，当时，，

最小值为，B错；

，所以，曲线在点处的切线方程为，D对.

故选：AD.

12．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ）

A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法

【答案】ACD

【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.

【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；

对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；

对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；

对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的单调递减区间为______．

【答案】/

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，∵，

令得，

∴函数的单调递减区间是．

故答案为：

14．已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________．

【答案】10

【分析】利用二项式系数和和二项展开式的通项公式即可.

【详解】因为二项式系数和为32，

；

当时，

故答案为：10

15．某单位要举办一场晚会，有两个歌唱、两个舞蹈、一个小品、一个相声共6个节目，要求两个歌唱不相邻演出，且两个舞蹈不相邻演出，则这6个节目共有 ______种不同的演出顺序．

【答案】

【分析】先计算出个节目全排列的方法数，然后减去歌唱或舞蹈相邻的方法数，从而求得正确答案.

【详解】个节目全排列的方法数为，

个节目的安排中，歌唱或舞蹈相邻的方法数为，

所以符合题意的演出顺序有.

故答案为：

16．过点，且与曲线相切的直线方程为___________.

【答案】或

【分析】设切点，利用导数几何意义求得切线，根据点A在切线上得到关于m的方程求m的值，即可得切线方程.

【详解】由，设切点为，则切线斜率为，

所以切线方程为，又在切线上，则，

所以，

解得或，

当，切线为，整理为；

当，切线为，整理为；

故答案为：或

四、解答题

17．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为2，无极大值.

【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，

（2）由导数确定单调性即可解极值.

【详解】（1），则，

又，

所求切线方程为：，即.

（2），

令，得；令，得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

函数的极小值为，无极大值.

18．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

19．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.

【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．

所以．

又，所以，解得．

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，

由，得．

则，．

因为线段中点的横坐标为，

所以．

解得，即，经检验符合题意．

所以直线l的方程为．

20．设函数.

(1)若在点处的切线斜率为，求的值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求得，利用导数的几何意义可得出，即可解得实数的值；

（2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间.

【详解】（1）解：函数的导数为，

若在点处的切线斜率为，，得，

（2）解：由，

当时，恒成立，所以的减区间为；

当时，令解得：，

由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为.

综上所述，当时，函数的减区间为；

当时，的单调减区间为，单调增区间为.

21．已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出展开式中各项的系数和，二项式系数和，再建立方程求出n，最后根据二项式系数的性质即可得解；

（2）求出二项展开式的通项，根据系数最大列出不等式组求解即可.

【详解】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，

依题意，，即，

整理得，所以，解得，

所以展开式通项为，

所以，时，

展开式中的有理项分别为，.

（2）由（1）知，展开式通项为，

令项的系数最大，则有，即，

整理得，解得，而，所以，

所以展开式中系数最大项为.

22．已知函数.

(1)若是的极值点，求的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.

【答案】(1)1

(2)答案见解析

(3).

【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；

（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；

（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.

【详解】（1）因为

则，即，所以，经检验符合题意

（2），则.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得，

若，则；若，则.

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（3）当时，由可得，令，其中，

则直线与函数在上的图像有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，

因此，实数的取值范围是.