2022-2023学年山西省太原市第五中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原市第五中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】A

【分析】根据直线的一般式求得直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.

【详解】设直线的倾斜角为，由，又，所以．

故选：A.

2．已知椭圆的标准方程为，并且焦距为4，则实数m的值为

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【解析】分焦点在轴和轴两种情况讨论，计算可得.

【详解】解：椭圆的标准方程为，并且焦距为4，

则，

当焦点在轴，则，，

，解得

当焦点在轴，则，，

，解得

故选：

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，关键要对焦点所在轴分类讨论，属于基础题.

3．已知双曲线C：）的实轴长为4,虚轴长为8,则C的渐近线方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线得信息得出双曲线方程,进而求出渐近线即可.

【详解】解:由双曲线的实轴长为4,虚轴长为8,

可知,解得,

所以双曲线的渐近线方程为.

故选:B

4．已知方程,下列说法正确的是（    ）

A．当时,此方程表示椭圆 B．此方程不可能表示圆

C．若此方程表示双曲线,则 D．当时,此方程表示双曲线

【答案】D

【解析】本题考查椭圆的定义与性质,根据椭圆的性质逐一判断即可.

【详解】解:①若该方程表示是椭圆,则

∴故A不正确;

②若该方程表示是圆,则,∴,故B不正确;

③若该方程表示是双曲线,则,∴或,故C错D正确.

故选:D.

【点睛】本题考查椭圆、双曲线、圆的定义与性质,属于基础题.

5．若点与点关于直线对称，则点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设B(m,n),由题意可得

解得 .故选B

6．椭圆与直线相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则=（　　）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用，解出．

【详解】解：设

∴

由AB的中点为M可得①，②

由A．B在椭圆上，可得

两式相减可得③，

把①②代入③可得

整理可得．

故选：A

7．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.

【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为，

则由题意可得，

相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，

由题意可得，所以，

故点M的轨迹方程为，故选B.

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

8．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：设，由点到直线距离公式有

，最小值为.

【解析】直线与圆锥曲线位置关系．

9．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值

【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，

所以蒙日圆方程为，

因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，

所以两圆相切，

所以，解得，

故选：B

10．已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出点的坐标，根据向量数量积的正负，求得的关系式，结合离心率求解公式，即可容易求得.

【详解】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，

与另一条渐近线的交点为，

由是，

即有，又因为，

故选：D.

【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属基础题.

二、填空题

11．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.

【答案】

【解析】设出方程，代入点A即可求出.

【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为，

将代入可得，即，

故方程为，化为标准方程为.

故答案为：.

12．直线恒过定点M，则点M到圆上的点的距离的最大值为___________.

【答案】

【分析】由题意可得直线恒过定点，求得点到圆心的距离为，从而可得点到圆上的最大距离为，即可得到结果.

【详解】根据题意，直线变形可得，则直线恒过定点，则；

圆，即，

其圆心为，半，点M到圆心的距离

则点M到圆上的点的距离的最大值为:.

故答案为:

13．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________.

【答案】

【分析】根据渐近线及其垂线方程可得点的坐标，再利用面积求解.

【详解】设过右焦点且与渐近垂直的直线为，

则直线的方程为,

由，得，

即，

则的面积为，

所以，离心率，

故答案为：.

14．给出下列结论：动点分别到两定点，连线的斜率之积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中：

（1）曲线的焦点坐标为，；

（2）曲线上存在一点，使得；

（3）为曲线上一点，，，是一个直角三角形的三个顶点，且，的值为；

（4）设动点在曲线上，则的最大值为；

其中正确命题的序号是________________．

【答案】（3）（4）

【分析】求出轨迹方程，确定轨迹是椭圆的一部分，求得，然后利用椭圆的性质求解判断．

【详解】∵动点分别到两定点，连线的斜率之积为，∴，整理，得曲线的方程为：，．曲线是椭圆的一部分，，

在（1）中，∵、分别为曲线的左、右焦点，，∴曲线的焦点坐标为，，故（1）错误；

在（2）中，曲线上任意一点，，故（2）错误；

在（3）中，，，，的值为，故（3）对；

在（4）中，当，，共线时，的最大值为，故（4）正确．

故答案为：（3）（4）．

三、解答题

15．已知直线的方程为

(1)求过点，且与直线l垂直的直线方程：

(2)求与直线平行，且直线间距离为的直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据直线和直线垂直，设直线的方程，然后将点代入解得即可得到直线方程；

（2）根据直线和直线平行，设直线的方程，然后根据直线与直线的距离为列方程，解方程即可得到直线方程.

【详解】（1）设与直线垂直的直线的方程为：，

把点代入可得，，解得，

∴过点，且与直线垂直的直线方程为：.

（2）设与平行的直线的方程为：，

∵直线与直线的距离为，

∴，解得或-4，

∴直线方程为：或.

16．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.

(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.

【详解】（1）设圆的标准方程为：

圆心到直线的距离：，

则

圆的标准方程：

（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.

②当切线斜率存在时，设切线：，即

则圆心到直线的距离：.

解得：，即

则切线方程为：

综上，切线方程为：和

17．已知点，，动点满足.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)已知曲线与圆的交点为，，点，求外接圆的一般方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设P（x，y），由，直接法可求出直线方程.

（2）利用圆系方程或用待定系数法求外接圆的一般方程.

【详解】（1）设P（x，y），因为，，，

所以，

整理得，

所以曲线C的方程为.

（2）解法一：设过两圆交点E，F的圆系方程为：，

代入点 ， 解得

∴外接圆的一般方程为：..

解法二：

联立方程组：，

解得或，

∴，，.

设△MEF外接圆的一般式方程为，代入E，F，M三点，

有，解得：，

∴△MEF外接圆的一般方程为：.

18．已知椭圆C：的右焦点为F，离心率，长轴长为4，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点）.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点Q（0，2），求线段MQ长度的取值范围：

(3)延长MO交椭圆C于P点，求△PMN面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)2

【分析】（1）首先利用待定系数法，求得椭圆方程；

（2）首先设点，代入两点间距离公式，利用点在椭圆上，利用变量的范围，即可求得的范围；

（3）首先设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示两点间距离，以及结合点到直线的距离，表示三角形的面积，并根据基本不等式求面积的最大值.

【详解】（1）∵长轴长为4，

∴

又∵离心率，

，

∴椭圆C的方程为.

（2）设M（x1，y1），则，，

∴.

线段|MQ|的取值范围是；

（3）设直线MN的方程为，

联立，消x得.

∵,

∴.

原点O到直线的距离

∴P到直线MN的距离为

∴..

令，则

当且仅当时，取等号

所以的面积的最大值是.