2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（    ）

A．12种 B．17种 C．23种 D．60种

【答案】A

【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．

【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．

故选：．

2．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（    ）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】B

【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.

【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种排法，即不同的默写次序有12种.

故选：B.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.

【详解】根据题意，，

，

则.

故选：B.

4．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.

【详解】解：，当时，.

故选：C.

5．已知是函数的导函数，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.

【详解】，，解得：，

，.

故选：B.

6．若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．

【详解】设，

由曲线，可得，

由曲线，可得，

则，解得（舍或．

故选：D．

7．下列各式中，不等于的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据排列数的运算，逐一化简选项即可．

【详解】选项，，正确；

选项，，错误；

选项，，正确；

选项，，正确．

故选：．

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，，的大小关系．

【详解】设，，

时，，单调递减，

，

，即，

又，

．

故选：．

二、多选题

9．下列运算错误的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AC

10．如图，已知直线与曲线相切于，两点，设，两点的横坐标分别为，，是的极小值点，设函数，则下列说法正确的有（    ）

A．是的极大值点 B．（a）

C．（c） D．是的极小值点

【答案】BD

【分析】由已知结合图形可得（a），判断错误；求得（a），知正确；求出（c），可知错误；再由导数分析单调性判断正确．

【详解】直线与曲线相切于､两点，，两点的横坐标分别为，，

可得：（a）（b），

（a），不是的极值点，故错误；

，

，

（a），故正确；

是的极小值点，（c），

则（c）（c），故错误；

由图可知，存在，使，

当，时，，当时，，

在，上单调递减，在上单调递增，

故是的极小值点，故正确．

故选：．

11．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ）

A．组成的三位数的个数为30

B．在组成的三位数中，奇数的个数为36

C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24

D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20

【答案】BD

【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.

【详解】A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；

B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；

C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；

③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；

D：由选项C的分析可知，D正确；

故选：BD.

12．已知函数 函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．有2个零点

C．有且只有1个极值 D．有3个零点

【答案】ABD

【分析】求出函数及其导函数，由值的正负探讨单调性判断AB；由函数的单调性，结合零点存在性定理判断CD作答.

【详解】由 ，得，令，得，当时，

单调递减，当时，单调递增，因此 ，A正确；

因为，则存在，使得，因此有2个零点，B正确；

当时，单调递增，当时，单调递减，

当时， 单调递增，因此有2个极值，C错误；

因为，

，因此在R上有3个零点，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数，其中，则函数的单调递减区间是___________．

【答案】

【分析】对求导，令，即可求解函数的单调递减区间．

【详解】由题意可知：函数定义域为，，

令，可得或，

因为，则，

且，令，解得，

所以函数的单调递减区间是．

故答案为：．

14．函数的最小值为___________．

【答案】﹣2

【分析】判断函数的奇偶性，结合x的范围，利用基本不等式转化求解即可．

【详解】函数，所以函数是奇函数，

当x∈（0，2]时，，当且仅当x=1时取等号，所以x∈（0，2]时，函数的最大值为2．

所以函数，x∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．

故答案为：﹣2．

15．若函数在上存在极值，则正整数的最小值为___________．

【答案】5

【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．

【详解】，

，

函数在上存在极值，

函数在上不是单调函数，

可得有两个不等的根，

即，

解得，或，

正整数的最小值为5．

故答案为：5．

16．长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为______．

【答案】

【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案.

【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为，又圆锥的母线长为，

圆锥的高为，则圆柱的高为，

该模型的体积

，当且仅当，即时取得等号，

该模型的体积最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次．

(1)一共出现多少种不同的抛掷情况？

(2)3次都不出现奇数点朝上的情况共有多少种？

(3)恰有一次出现奇数点朝上的情况共有多少种？

【答案】(1)216

(2)27

(3)81

【分析】（1）根据乘法原理求解即可；

（2）根据乘法原理，3次都不出现奇数点朝上即3次都为偶数点，结合偶数有3个求解即可；

（3）恰有一次出现奇数点朝上则抛的3次中有1次奇数朝上，2次偶数朝上，再根据乘法原理求解即可.

【详解】（1）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，

一共出现种不同的抛掷情况；

（2）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，

3次都不出现奇数点朝上的情况共有种；

（3）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，

恰有一次出现奇数点朝上的情况共有种．

18．已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积（为坐标原点）；

(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得，由此可得三角形面积；

（2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此可得切线方程.

【详解】（1），，又，

在处的切线方程为：，即，

，，.

（2）设过点的直线与相切于点，

由，，切线方程为：，

又切线过点，，解得：，

所求切线方程为：，即.

19．已知函数．

(1)求函数的单调区间与极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极小值为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与极值；

（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．

【详解】（1）（1）因为，

令，可得或，

和随的变化情况如下：

函数的单调增区间为，，单调减区间为，

的极大值为，的极小值为；

（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，

，，，．

函数在区间，上的最大值为，最小值为．

20．已知函数在及处取得极值．

(1)求a，b的值；

(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案；

（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围．

【详解】（1）由题意得，

函数在及处取得极值，

得，解得.

此时，.

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.

（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．

又有三个不同的实根，

由图象知，解得，

所以实数c的取值范围是．

21．设函数，其中为自然对数的底数．求证：

(1)当时，；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论；

（2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论．

【详解】（1）证明：令，

则，

当时，，在上单调递增，

故，

即当时，成立.

（2）由（1）可得：当时，，

要证，即证，即证，

令，

则，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间单调递减，

所以在处取得最小值，

所以，

即恒成立，

所以．

22．已知函数，，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．

【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为

(2)2

【分析】（1）求导，分类讨论求原函数单调性；

（2）根据题意分析可得在上恒成立，构建新函数，利用导数结合零点代换求的最大值.

【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为，且，

当时，在定义域内恒成立，

则函数的单调递减区间为；

当时，令，则或（舍去），

当时，， 当时，，

则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

综上所述，当时，函数的单调递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）对任意的，恒成立，即不等式恒成立，

因为，则，所以原问题等价于在上恒成立，

设，，则只需，

可得，

令在上单调递减，

因为，，

所以存在唯一的，使得，即，

当时，，则，当时，，则，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以即可，

又∵，所以，

故整数a的最小值为2．

【点睛】方法定睛：破解不等式的恒成立问题的常用方法：

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．