2022-2023学年吉林省长春市德惠市实验中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市德惠市实验中学高二上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．已知数列为等差数列，，则（    ）

A．8 B．12 C．15 D．24

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.

【详解】，故，.

故选：B

2．已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【分析】由根与系数关系有，再根据等差数列下标和性质即可求值.

【详解】由题意知，又是等差数列，

所以.

故选：D

3．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，设有

本题选择D选项.

点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．

4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

5．已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的取值范围.

【详解】解：由题意，，，则，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，

圆上的点P到直线的最小距离为，最大距离为

面积的最小值为，最大值为

面积的取值范围是

故选：B

6．已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ）

A．7 B．14 C． D．

【答案】B

【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.

【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.

故选：B

7．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案

【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，

因为，所以，

所以，

由椭圆的定义可得，则，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为，

故选：D

8．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】点关于直线对称，则线段中点在直线上，求出中点坐标，与直线垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.

【详解】设，点关于直线对称，

且线段中点在直线上，纵坐标为，所以横坐标为，

，

在椭圆上：，，两式相减得：

解得：.

故选：B

【点睛】此题考查中点弦相关问题，根据点与直线的位置关系，结合点差法求解，若能熟记中点弦公式相关结论，可以大大提升解题速率.

二、多选题

9．下列说法错误有（    ）

A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件

B．过，两点的所有直线的方程为

C．直线的倾斜角的取值范围是

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ABD

【分析】A. 由两直线互相垂直求解判断；， B.根据直线的两点式方程判断； C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断； D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.

【详解】A. 当与直线互相垂直时，，解得 或 ，故错误；

B.过，（且） 两点的所有直线的方程为，故错误；

 C.直线的倾斜角，则，所以倾斜角的取值范围是，故正确；

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为，当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，则直线方程为，故错误；

故选：ABD

10．数列的前项和为，已知，则（    ）

A．是递增数列 B．是等差数列

C．当时， D．当或4时，取得最大值

【答案】CD

【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.

【详解】当时，，

当时，，

不满足上式，

所以，

对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，

对于B，由于，，，所以，

所以不是等差数列，所以B错误，

对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，

对于D，，因为，

所以当或4时，取得最大值，所以D正确，

故选：CD.

11．已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

12．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）

A．

B．点E到直线的距离为

C．直线与平面所成的角的正弦值为

D．点到平面的距离为

【答案】AC

【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.

【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，

则，

，

则，所以，故A正确；

，则，

所以，

所以点E到直线的距离为，故B错误；

因为平面，所以即为平面的一条法向量，

则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；

设平面的法向量为，

则有，可取，

则点到平面的距离为，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．数列满足，，则______．

【答案】

【分析】利用累乘法求得正确答案.

【详解】

，

也符合上式，

所以.

故答案为：

14．圆：与圆：的公共弦长为______．

【答案】

【分析】先求得公共弦的方程，再根据点线距公式和垂径定理求解即可.

【详解】解：圆与圆的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即，

因为变形为，即圆的圆心为，半径为2，

所以，圆心到x＋2y－1＝0的距离，

所以，两圆的公共弦长为.

故答案为： ．

15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A，两点，若为等边三角形，则___________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB的长，根据为等边三角形，得到关于p的方程，即可求得答案.

【详解】抛物线的焦点为，其准线为，

将与联立，得，解得，

则 ，

由于为等边三角形，故，

即，解得 ，

故答案为：6

16．椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.

【答案】

【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率．

【详解】已知，设，则，

，，

故①，

∵，即②，

②代入①整理得：，

．

故答案为：．

四、解答题

17．如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D为AB的中点，E为CC1的中点.

(1)证明:平面CDC1⊥平面C1AB；

(2)求二面角A-BC1-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证平面CDC1⊥平面C1AB，可证AB⊥平面CDC1，即证，进而得证；

（2）可采用定义法，取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH，易证∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角，由几何关系可求解；也可取BC的中点O，连接AO，以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.

【详解】（1）（1）∵△ABC为等边三角形，D是AB的中点，

∴AB⊥CD.

∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴CC1⊥AB.

∵CC1⊂平面CDC1，CD⊂平面CDC1，CC1∩CD=C，

∴AB⊥平面CDC1.

∵AB⊂平面C1AB，

∴平面CDC1⊥平面C1AB；

（2）解法一：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH.

∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，，∴AO⊥平面BCC1B1，

又平面，，,平面，平面，所以平面，又平面，

∴AH⊥BC1，AO⊥OH，

∴∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角.

设AB=2a，那么AO=a，BO=a.

∵AA1=AB，

∴∠C1BC=45°，

∴OH=BO=a.

在Rt△AOH中，tan∠AHO=，

∴cos∠AHO=，

故二面角A-BC1-E的余弦值为；

解法二：取BC的中点O，连接AO，

则AO⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，

∴AO⊥平面BCC1B1.

以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

易知平面BC1E的一个法向量为.

设AB=2a，则.

∵AA1=AB，

∴C1.

∴.

设平面ABC1的法向量为.

则，即，

取y=，则x=1，z=，

∴为平面ABC1的一个法向量，

∴，

易知二面角A-BC1-E为锐二面角，

∴二面角A-BC1-E的余弦值为.

18．双曲线C：过点，且右焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线方程；

(2)若双曲线C与直线l：相交于两个不同的点A，B，M（1，3）为AB中点，求直线l方程．

【答案】(1)；

(2)不存在满足题意的直线l.

【分析】(1)根据题意，利用点到直线的距离公式求得，根据双曲线过点列出方程，解之求得，即可求解；

(2)设点A、B的坐标，利用两点求出直线斜率，根据点差法求出直线的斜率，验证点不在直线上即可求解.

【详解】（1）由题意知，右焦点，渐近线，即，

因为右焦点到渐近线的距离为，所以，即，

又双曲线过点，则，解得，

所以双曲线的方程为；

（2）由题意知，直线与双曲线相交于点A、B，且为的中点，

设，则，，

由，两式相减，得，

即，得，

此时直线的方程为，但点不在直线上，

所以不存在这样的直线.

19．已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上．

(1)求圆的方程；

(2)若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆的方程；

（2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线的方程．

【详解】（1）由已知可设圆的方程为：，…①

圆： …②

①②可得：，即为的方程，

所以有，，，

所以圆的方程为.

（2）因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为，

因为直线与圆相切，所以有，

所以直线的方程为.

又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，

所以又可设直线的方程为，所以有，

所以直线的方程为.

综上直线m的方程为或

20．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，

【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；

（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.

【详解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A，

设抛物线的方程为，焦点坐标为，

由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，

所以抛物线的方程；

（2）联立，整理得，

设，则，

，

综上，抛物线的方程，OA，OB斜率的乘积为-1.

21．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;

（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.

【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．

又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．

所以椭圆的标准方程．

（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．

联立直线的方程与椭圆方程，

消去，得，其中．

设，，则，．

因为，所以

．

因此的值是．

22．已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.

（1）求的长；

（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）首先表示出直线的方程，利用点到线的距离公式及离心率公式得到方程组，解出、，即可得到椭圆方程，再根据两点的距离公式计算可得；

（2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，则，再利用基本不等式求出三角形面积的最大值，从而得到，最后根据计算可得；

【详解】解：（1）因为直线l过点和，所以直线的方程为，

所以坐标原点O到直线l的距离，

又离心率，且，解得，即，

所以椭圆方程为，；

（2）设直线，，，

联立消去得，

所以，，

所以

当且仅当即时取等号，即，

所以