2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期第二次月考试题数学解析版

衡阳市八中2021级高二下期第二次月考

数 学 试 题

注意事项：本卷共4页，22小题，满分150分，时量120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数z对应点的坐标为，则（    ）

A．i                      B．－i                  C．1＋i                D．1－i

【答案】B

【详解】因为，所以. 故选B.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C．         D．

【答案】A

【详解】，所以，又，所以. 故选A.

3．某校5名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数为（    ）

A．72 B．60 C．54 D．48

【答案】B

【详解】分类：①甲独自一人一组：;  ②甲与另一人并在一组：，相加共60人，故选B.

4．已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，且，则中点的横坐标为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【详解】由题意得，准线方程为，由抛物线的焦半径可知，则中点的横坐标为， 故选A.

5．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，所以cm，

所以cm，

所以两个球冠的面积为cm2，

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：

cm2，故选C.

6．已知函数的最小正周期为，将其图像向右平移个单位后得函数的图像，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意得，故，．，，．故选A.

7．若，则（    ）

A．是等比数列      B．是等比数列    C．是等差数列      D．是等差数列

【答案】C

【详解】因为，

所以，

则，

故是等差数列，故C正确.故选C.

8．设，则下列关系正确的是（    ）

A．               B．              C．              D．

【答案】D

【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增，

则当时，，即，取，所以，

记，因为，所以在上单调递减，

则当时，，即，取，所以，故，即；

记，因为，当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，即，取，所以，即；

所以.

故选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．下列命题中，真命题的是（    ）

A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8

B．若回归方程为，则变量y与x负相关

C．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为

D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好

【答案】AB

【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，A项为真命题；对B：由，可知，则变量y与x负相关，B项为真命题；

对C：根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为，故C项为假命题；

对D：在线性回归分析中相关指数越接近于1，则模型的拟合效果越好，故D项为假命题.故选AB.

10．对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则或 D．若，则或

【答案】ACD

【详解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确；

若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；

若，则或，与不相交，C正确；

若，则或，与不相交，D正确．

故选ACD．

11．已知圆，点，点M在x轴上，则（    ）

A．B不在圆C上 B．y轴被圆C截得的弦长为3

C．A，B，C三点共线 D．的最大值为

【答案】BCD

【详解】A选项，因为，故在圆C上，A错误；

B选项，的圆心为，半径为，圆心到轴的距离为2，

由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为，B正确；

C选项，因为，故在圆上，又，即为半径的2倍，

因为在圆C上，故为直径，过圆心，故A，B，C三点共线，C正确；

D选项，由C知为直径，由于圆心为，半径为，故轴为的一条切线，

故的最大值为，D正确.故选BCD.

12．已知函数，则（    ）

A．是偶函数                       B．在区间上单调递增

C．在上有4个零点           D．的值域是

【答案】AB

【详解】对于A，函数的定义域为，且，

所以函数是偶函数，A正确；

对于B，当时，.

令，由于函数在时单调递减，

函数在时单调递增，所以函数在区间上单调递减，

故函数在区间上单调递增，B正确；

对于C，当时，由，得或，

所以或或，所以偶函数在上有6个零点，C不正确；

对于D，当时，.

因为，所以当时，，当时，.

由于函数是偶函数，因此，函数的值域为，D不正确.  故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，，所以，所以，

故答案为.

14．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________．

【答案】

【详解】由题意得，解得，因此的展开式的通项为，

故展开式中的常数项为. 故答案为.

15．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．

【答案】

【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,

，，，

设任取一件产品，取到的是次品为事件，则

.故答案为.

16．不与轴重合的直线过点，双曲线C：上存在两点、关于对称，AB中点M的横坐标为．若，则双曲线C的离心率为____________．

【答案】

【详解】设，

则，两式相减得，即，

即 ，所以，

因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故.

故答案为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，内角的对边分别为，.

(1)求；

(2)若的面积为，求边上的中线的长.

【答案】(1)  (2)

【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，

由余弦定理及得：，

又，所以，即，所以.

（2）由，所以，由（1），所以，

因为为边上的中线，所以，

所以，

所以，所以边上的中线的长为.

18．常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：

(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．完成下面列联表，并判断可否认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05？

(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．

附：，．

临界值表：

【答案】(1)表格见解析，没有；(2)分布列见解析，数学期望.

【详解】（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：

故，

因为，所以没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．

（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，

女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，，，

所以随机变量X的分布列为

所以．

19．已知数列的前n项和为，，且（）．

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【详解】（1）由，得．

当时，，所以，所以，

由于，所以，因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以．

（2）由（1）知，，

，

，

因为，所以．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；

(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析  (2)．

【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．

因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．

因为PB＝PD，所以PO⊥BD．

又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．

又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．

（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．

因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．

又因为PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．

由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．

由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．

由AP⊥PC，在△APC中，，所以．

以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面PAB的法向量为，

所以，

令得．

设平面PBC的法向量为，所以，

令得．

设平面PAB与平面PBC的夹角为．

所以．

所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．

21．已知椭圆E：过，两点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．

【答案】(1)  (2)证明见解析

【详解】（1）由题知，椭圆E过，，所以，解得，，

所以椭圆E的方程为．

（2）证明：

当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，所以，或，．

所以．

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，

由，得，所以，，

，

所以，，所以

，

所以QP平分，因为，，所以，即．

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递区间为   (2)

【详解】（1）函数的定义域是，当时，，

令得，所以函数在上单递递增；

令得，所以函数在上单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．

（2）【解法一】恒成立，等价于恒成立，

令，因为恒成立，所以在上单调递增，

所以，即，所以恒成立，等价于恒成立.

令，问题等价于恒成立。

①若时，恒成立，满足题意；

②若时，则，所以，不满足题意；

③若时，因为，令，得，，，单调递减，，，单调递增，所以在处取得最小值，

要使得，恒成立，只需，解得，综上

【解法二】恒成立，等价于，

令

①若时，，所以在上单调递增，，即，满足，

②若时，则， ，所以在上单调递增，

由，函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；所以，使得，不满足题意．

③若时，令，∴，令，则在上单调递增，

函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；

则，；，，；，，所以，，，

，，单调递减，，，单调递增，

只需即可，∴，∴，

令，，∴在上单调递增，

，∴时，，，，

所以在上单调递增，∴，即，综上