2022-2023学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ）

A．60种 B．80种 C．100种 D．120种

【答案】D

【分析】利用排列的定义直接列式求解.

【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．

故选:D．

2．下列问题是排列问题的是（    ）

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C．集合的含有三个元素的子集有多少个？

D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

【答案】D

【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.

【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；

B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；

C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；

D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．

故选：D

3．计算：（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据排列数公式计算即可

【详解】

故选 ：B

4．可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由排列数公式判断即可

【详解】因为是连续9个数和相乘，

所以，

故选：A

5．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ）

A．120种 B．150种 C．210种 D．216种

【答案】C

【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.

【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，

所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.

故选：C

6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（    ）

A．24 B．18 C．12 D．6

【答案】B

【分析】首先将张一份的电影票编号连续，列出所有可能的分法，再将三份电影票分给三个人，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：将4张电影票分成三份，其中2张一份的电影票编号连续，则有12，3，4；1，23，4；1，2，34三种分法，

然后将三份电影票分给三个人，有种分法，所以不同的分法种数为．

故选：B．

7．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（    ）个.

A．60 B． C．20 D．

【答案】C

【分析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，

【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5，

当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；

当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；

当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；

所以“伞数”共有20个，

故选：C.

8．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，又，，

所以，

所以不等式的解集为，

故选：D.

9．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可

【详解】由，则，故．

故选：D

10．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（    ）

A．54 B．36 C．24 D．18

【答案】B

【分析】分类讨论分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，

【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，

学校有两名新老师：；

学校有两名新老师：；

学校有两名新老师：

所以共有种情况，

故选：B.

11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（    ）

A．478 B．479 C．480 D．481

【答案】B

【分析】可从反面入手，考虑比201345小，即首位是1的情况

【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为．

以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，

由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，

所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为．

故选：B

12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ）

A．48种 B．36种 C．24种 D．20种

【答案】B

【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.

【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，

又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，

所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有种排法，再将“射”和“御”交换位置有种排法，最后安排“数”有种排法，

所以根据分步计数原理共有种排法，

故选：B.

13．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（    ）

A．180 B．192 C．300 D．420

【答案】D

【分析】将五个区域表示为①②③④⑤，先考虑区域①②③，再分情况考虑区域④⑤，由分步乘法计数原理求解即可.

【详解】

如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，

若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有种情况；则一共有种情况

故选：D．

14．给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种

【答案】D

【分析】依次给区域涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.

【详解】解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．

故选：D．

二、多选题

15．已知，则的可能取值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】将题设中的方程化为，从而可求的可能取值.

【详解】因为，所以，所以，

其中，而 ，

所以的值可能是2或3．

故选：CD．

16．下列等式正确的是（　　）

A． B．

C．！ D．

【答案】ACD

【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．

【详解】对于A，，选项A正确；

对于B，，所以选项B错误；

对于C，，选项C正确；

对于D，•，选项D正确．

故选：ACD．

17．（多选）某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（）、体艺特长（）、实践创新（S）、生涯规划（）、国际视野（）、公民素养（）、大学先修（）、PBL项目课程（），假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（    ）

A．某学生从中选两类，共有种选法

B．课程“”“”排在不相邻两天，共有种排法

C．课程中“S”“”“”排在相邻三天，且“”只能排在“S”与“”的中间，共有720种排法

D．课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有种排法

【答案】BD

【分析】A选项，属于组合问题，故为种；B选项，采用插空法求解；C选项，采用捆绑法求解；D选项，使用分类加法计数原理进行所求解.

【详解】对于A，某学生从中选两类，如选“”“”与选“”“”是一种选法，没有顺序之分，所以种选法计算重复，故A错误；

对于B，课程“”“”排在不相邻两天，先将剩余六类课程全排列，产生7个空隙，再将课程“”“”插空，共有种排法，故B正确；

对于C，课程“S”，“”，“”排在相邻三天，且“”只能排在“S”与“”的中间，采用捆绑法，共有种排法，故C错误；

对于D，课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，则分两类情况：①课程“”排在第一天，②课程“”排在除第一天和最后一天之外的某一天，则共有种排法，故D正确．

故选：BD．

三、填空题

18．方程，的解为_______．

【答案】5

【分析】由排列数公式直接得到关于的方程，解出的值，再代入检验得到答案.

【详解】因为，则且，则且

所以，

即，解得或（舍去）．

故答案为： 5

19．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．

【答案】

【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.

【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；

个节目，形成个空位，安排一位老校友；

个节目，形成个空位，安排一位老校友.

所以不同的安排方式有种.

故答案为：

20．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）

【答案】72

【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可.

【详解】按照使用颜色的种类分类，

第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)，

第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种)

所以共有48+24=72(种)

故答案为：72

21．冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种．

【答案】9

【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.

【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有种，按照分步计数原理共有种.

故答案为：9.

22．正整数484有个不同的正约数___________.

【答案】9

【分析】先将484分解质因数，484的约数由质因数的乘积组成，使用分步乘法计数原理，可求出484正约数的个数.

【详解】

设为484的正约数，则，（，，，，，）

例如：，时，是484的约数，

，时，是484的约数，

，时，是484的约数，

因此，484的正约数个数，即的不同取值个数，第一步确定的值，有3种可能，第二步确定的值，有3种可能，因此的取值共有种.

故答案为：9.

23．用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成______个没有重复数字的三位数.

【答案】180

【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解.

【详解】选0时，0不能在首位，故有个，

不选0时，有个，

根据分类加法原理，共有个，

故答案为:180.

24．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答）

【答案】

【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.

【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:

然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.

故答案为：.

四、解答题

25．3张卡片正、反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？

【答案】

故可以得到48个不同的三位数

【分析】通过分步乘法计数原理即可得到结果

【详解】“组成三位数”这件事，分两步完成：

第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列，即；

第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法，即．

根据分步乘法计数原理，可以得到个不同的三位数．

26．现有8个人（5男3女）站成一排．

(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？

(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？

(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？

(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？

(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？

【答案】(1)5040

(2)4320

(3)21600

(4)20160

(5)14400

(6)2880

【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；

（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；

（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；

（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；

（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；

（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.

【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，

则甲必须站在排头有种排法；

（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，

将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；

（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，

则甲、乙两人不能排在两端有种排法；

（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，

则甲在乙的左边有种不同的排法；

（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，

将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；

（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

则女生两旁必须有男生，有种不同排法．