2023年上海市松江区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市松江区中考数学一模试卷

1.  已知，则锐角A的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知中，，，，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  关于抛物线，下列说法正确的是(    )

A. 开口向上 B. 与y轴的交点是
C. 顶点是 D. 对称轴是直线

4.  已知、为非零向量，下列判断错误的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么或
D. 如果为单位向量，且，那么

5.  如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得、，那么这条河的宽度是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  如图，直角梯形ABCD中，，，，，是BA延长线上一点，使得与相似，这样的点P的个数是(    )

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

7.  如果，那么______ .

8.  已知线段，P是AB的黄金分割点，且，那么PA的长是______ .

9.  如图，已知直线，如果，，那么线段EF的长是______ .

10.  如图，中，，，E是边AC的中点，延长BC到点D，使，那么DE的长是______ .

11.  如图，中，，于点D，如果，，那么的值是______ .

12.  如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比：，堤高米，那么坡面AB的长度是______ 米.

13.  把抛物线向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是__________ .

14.  如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线______ .

15.  已知一个二次函数的图像经过点，且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是______ 只要写出一个符合要求的解析式

16.  公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度米关于水珠与喷头的水平距离米的函数解折武是那么水珠的最大离地高度是______ 米.

17.  已知，P是边BC上一点，、的重心分别为、，那么的值为______ .

18.  已知中，，，将绕点C旋转至，如果直线，垂足记为点D，那么的值为______ .

19.  如图，已知中，点D、E分别在边AB、AC上，，
如果，求DE的长；
设，，用、表示

20.  已知二次函数
用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
在所给的平面直角坐标系xOy中如图，画出这个二次函数的图象；
请描述这个二次函数图象的变化趋势.

21.  如图，已知中，，，D是AC的中点，于点E，ED、BA的延长线交于点
求的正切值；
求的值.

22.  小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度.如图，他先在点C处放置一个高为米的测角仪图中，测得旗杆顶部A的仰角为，再沿BC的方向后退米到点D处，用同一个测角仪图中，又测得旗杆顶部A的仰角为试求旗杆AB的高度.
参考数据：，，

23.  如图，已知梯形ABCD中，是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且求证：
∽；
 

24.  在平面直角坐标系xOy中如图，已知抛物线经过点和点
求该抛物线的表达式；
平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为
①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且，求点P的坐标.

25.  已知梯形ABCD中，，，，，E是线段CD上一点，联结
如图1，如果，且，求的正切值；
如图2，如果，且，求AD的长；
如果，且是等腰三角形，求的面积.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，A为锐角，，

故选
直接根据进行解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，，，
，
，，，，
故选：
先利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点为，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
抛物线与y轴交点坐标为，
故选：
由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】B 

【解析】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．
B、如果，那么两向量为共线向量，则，故本选项符合题意．
C、如果，那么或，故本选项不符合题意．
D、根据向量模的定义知，，故本选项不符合题意．
故选：
根据平面向量的性质解答．
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
 

5.【答案】A 

【解析】解：作，交AB于点C，
，、，
，
，，
，，
，
解得，
故选：
根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据，即可得到
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】B 

【解析】解：延长CD交射线BA于点E，
，
∽，
如图1，点P与点E重合，则与完全重合，
∽；
如图2，点P在点E与点A之间，
，
当时，∽，
，，，
，
解得或不符合题意，舍去，
此时存在点P，使与相似；
如图3，点P在AE的延长线上，
若∽，则，
，
为BP的中点，
，
显然与点P在AE的延长线上不符，
此时与不相似，
综上所述，这样的点P有2个，
故选：
延长CD交射线BA于点E，由，得∽，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时∽；二是点P在点E与点A之间，因为，所以当时，∽，可由，求得，这样就验证了此时存在点P，使与相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时与不相似．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，则，

故答案为：
直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．
此题主要考查了比例的性质，正确用y表示出x的值是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是AB的黄金分割点，且，，
，
故答案为：
利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：
根据平行线分线段成比例解答即可．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
 

10.【答案】2 

【解析】解：取BC的中点F，连接EF，
点E为AC的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分DF，
，
故答案为：
取BC的中点F，连接EF，根据三角形中位线定理可得，再利用线段垂直平分线的性质可得答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，于点D，
，
，

故答案为：
由余角的性质得到，求的余弦值即可．
本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义．
 

12.【答案】6 

【解析】解：：：：3，
令米，米，
米，
米，
，
米
故答案为：
由：：：3，令米，米，得到米，由米，求出x的值，即可求出AB的长．
本题考查解直角三角形的应用-坡度，关键是掌握坡度的定义．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．
已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为，则平移后顶点坐标为，由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．
【解答】
解：顶点坐标为，
向左平移2个单位后顶点坐标为，
所得新抛物线的表达式为
故答案为：  

14.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：
由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
 

15.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，
符合题意．
故答案为：，答案不唯一
由抛物线经过可得，由y轴左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
当时，y有最大值，最大值为，
水珠的最大离地高度是，
故答案为：
根据二次函数的顶点式即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交PB于D，延长交PC于E，
、的重心分别为、，
：：：3，D是PB中点，E是PC中点，
，
∽，
的面积：的面积：9，
是PB中点，E是PC中点，
的面积的面积，
的值为
故答案为：
由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到∽，推出的面积：的面积：9，而的面积的面积，即可解决问题．
本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．
 

18.【答案】或 

【解析】解：设，则，，
当旋转时，，
，
，
，
，
，
同理：当旋转时，，
故答案为：或
设，则，，再根据勾股定理求解．
本题考查了旋转的性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
由知，
，
，，
，
 

【解析】证明∽，由，可得，即可得；
由，，，知，故
本题考查相似三角形及平面向量，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能进行向量的简单运算．
 

20.【答案】解：，
二次函数图象的顶点坐标为；
由知抛物线顶点为，由可得抛物线过，，，，如图：

当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大． 

【解析】配成顶点式即可得到顶点坐标；
根据抛物线顶点和与y轴交点可画出函数图象；
观察函数图象可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及配方法，解题的关键是画出函数图象．
 

21.【答案】解：过A作于H，如图：

，，
，
在中，
，
；
由知，
，
，
是AC的中点，，
，
，，
，
，
，
，
，
 

【解析】过A作于H，则，在中，，即得；由知，可得，即得，而，故，，，由，有，故，从而
本题考查解直角三角形，涉及勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求出
 

22.【答案】解：设直线EF交AB于G，如图：

根据题意，，，米，
的等腰直角三角形，
，
设米，则旗杆AB高度为米，
米，
在中，
，
，即，
解得：，
，
答：旗杆AB的高度是米． 

【解析】设直线EF交AB于G，可得，，米，设米，在中，，即，解出x的值，即可求得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，
∽；
由知∽，∽
，，
，
 

【解析】由，，可得∽，有，又，有，故∽；
由∽，∽，可得，，即得，从而
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：抛物线经过点和点，
，解得，
抛物线的表达式为；
①，
点P在OA的垂直平分线上，
点，
点P的横坐标，
设直线AB为，
点和点，
，解得，
直线AB为，
当时，，
的垂直平分线与AB的交点坐标为，

新抛物线的顶点在的内部，
的取值范围为，
；
②如图，

设OP与AB交于Q，，
，，
∽，
，
点和点，
，，，
，
，
，解得或，
或舍去，
直线OQ为，
，
，
新抛物线为，
新抛物线经过原点，
，解得或，
点P的坐标为 

【解析】利用待定系数法即可得抛物线的表达式；
①由得点P在OA的垂直平分线上，则点P的横坐标，求出直线AB为，可得OA的垂直平分线与AB的交点坐标为，由新抛物线的顶点在的内部可得n的取值范围，即可求解；
②设OP与AB交于Q，，证明∽，根据相似三角形的性质可得，利用勾股定理得出或，则或舍去，直线OQ为，可得，则新抛物线为经过原点，求出m的值，即可得点P的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法以及相似三角形的判定和性质．
 

25.【答案】解：过D作于K，过E作于T，如图：

，，，
四边形ABKD是矩形，
，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，
的正切值为；
过D作于R，过E作于S，如图：

，
，
同可得，，
，
，，
，
，
，
∽，
，即，
或，
大于6舍去或，
，
；
的长为；
当时，过E作于W，如图：

，
，
，
∽，
，即，
，
；
当时，过E作于P，过E作于M，如图：

，
同可得，
，
解得或，
或；
当时，过E作于Q，过E作于I，如图：

设，则，，
，
，，
∽，
，即，
解得舍去或，
，
综上所述，的面积为或或或 

【解析】过D作于K，过E作于T，由，，，得四边形ABKD是矩形，知，，证明∽，有，即可求出；
过D作于R，过E作于S，由，可得，，，证明∽，有，即得，从而AD的长为；
当时，过E作于W，可得，；当时，过E作于P，过E作于M，可得或，或；当时，过E作于Q，过E作于I，设，可得，故
本题考查直角梯形的应用，涉及锐角三角函数，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．