2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷

1.  下列函数中，二次函数是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知点在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为，那么的值为(    )

A.  B. 2 C.  D.

3.  已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 9米

5.  如图，在中，，，垂足为点D，下列结论中，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，AG平分，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且，下列结论中，错误的是(    )

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽

7.  求值：______ .

8.  计算：______ .

9.  如果函数，那么______ .

10.  如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______.

11.  已知点P是线段MN的黄金分割点，如果，那么线段______ .

12.  已知在中，，，，那么______ ․

13.  已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是______ .

14.  将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么______ .

15.  广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠与喷头的水平距离米的函数解析式是水珠可以达到的最大高度是______ 米

16.  如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为______ 厘米参考数据：，，

17.  如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上.如果，那么的值为______ .

18.  如图，已知在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为______ .

19.  在平面直角坐标系xOy中，点、在抛物线上.
如果，那么抛物线的对称轴为直线______ ；
如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标.

20.  如图，已知中，点D、E分别在边AB和AC上，，且DE经过的重心
设，______ 用向量表示；
如果，，求边AC的长.

21.  如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区.在中，已知，，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？精确到秒参考数据：
 

22.  新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完成下列问题：
______ ；______ ；
请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论

23.  已知：如图，在中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上，，
求证：∽；
联结EF，如果，求证：

24.  已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点
求抛物线的表达式；
点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点如果，求点P的坐标；
在第小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由.

25.  已知在正方形ABCD中，对角线，点E、F分别在边AD、CD上，
如图，如果，求线段DE的长；
过点E作，垂足为点G，与BD交于点
①求证：；
②设BD的中点为点O，如果，求的值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、可化为，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．
 

2.【答案】C 

【解析】解：连接OA，作轴于点B，则，
点
，，
，
射线OA与x轴正半轴的夹角为，
，
故选：
根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到OA的长，从而可以计算出的值．
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．
 

3.【答案】B 

【解析】解：A、得出的是向量n的方向不是单位向量，故不符合题意；
B、符合向量的长度及方向，故符合题意；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；
D、左边得出的是向量m的方向，右边得出的是向量n的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．
故选：
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
本题考查了向量的性质．注意：平面向量既有大小，又有方向．
 

4.【答案】A 

【解析】解：：：3，
：：3，
，
，
物体从A到B所经过的路程为，
故选：
由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
故A、B选项正确，不符合题意；
故C选项错误，符合题意；
，
，
，，
，
∽，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：
根据题意，易证明∽，∽，根据相似三角形的性质即可选择．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，，
∽，
故A正确；
∽，
，
又，
∽，
故B正确；
平分，
，
又，
∽，
故C正确；
由已知条件无法证明∽，
故D错误；
故选：
根据相似三角形的判定逐一判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据特殊角的三角函数值知：，
故答案为：
根据特殊角的三角函数值直接写出即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据平面向量的加法法则计算即可．
本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
 

9.【答案】3 

【解析】解：把代入得：

故答案为：
计算自变量为2对应的函数值即可．
本题考查了函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
 

10.【答案】2：3 

【解析】解：两个相似三角形的周长比为2：3，
这两个相似三角形的相似比为2：3，
它们的对应高的比为：2：3，
故答案为：2：
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点P是线段MN的黄金分割点，，，
，
故答案为：
由黄金分割的定义得，即可得出结论．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．
 

12.【答案】 

【解析】解：过A作于D，则，

，，，
设，则，
在中，
，即，
解得负值舍去，
，，
，
由勾股定理得：
故答案为：
过A作于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
抛物线开口向上，
，
故答案为：
由题意可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】2 

【解析】解：，
将抛物线沿y轴向下平移2个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，
，
故答案为：
利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
 

15.【答案】6 

【解析】解：，
，
，
，
当时，y有最大值6，
水珠可以达到的最大高度为6米．
故答案为：
先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

16.【答案】10 

【解析】解：如图：过A作于

中，厘米，，

厘米
故答案为：
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接AC，过C作于G，如图：

，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：
连接AC，过C作于G，由，，可得是等边三角形，即可得，根据，，可证∽，故
本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点E，

在矩形ABCD中，，，
，
将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点处，
，，，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
设，则，
，，
∽，
，即，
解得：，
，

故答案为：
过点作于点E，先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，，则，再证明∽，由相似三角形的性质求出，，则，再证明∽，由相似三角形的性质求出，，则，设，则，易证明∽，相似三角形的性质列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：、，，
点A和点B为抛物线上的对称点，
抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
把、分别代入得，，
、，
把、分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为
当时，则点A和点B为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴；
先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，再把点A、B的坐标分别入得a、b的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接AG并延长交BC于M，如图：

是的重心，
，
，
，
∽，∽，
，
，
，，
；
故答案为：；
，由知，
，
，，
∽，
，即，
，
解得负值已舍去，
边AC的长为
连接AG并延长交BC于M，由G是的重心，，可得，而，即得；
证明∽，可得，即得
本题考查平面向量和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

21.【答案】解：过P作于H，如图：

由已知可得，米，
在中，
，
，
米，
在中，
，
米，
米，
千米/小时米/秒，
而秒，
车辆通过AB段的时间在秒以内时，可认定为超速． 

【解析】过P作于H，由已知可得，米，在中，米，在中，米，可得米，而秒，即可得到答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：由图可得：
，
过A作于D，如图：

，
，
，
故答案为：4，；
如图：

点P即为所求点．
由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求AD的长，在中可得；
取格点E，F，连接EF交AB于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点．
本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．
 

23.【答案】证明：如图：

，
，
，
∽，
，
，
∽；
如图：

由知∽，∽，
，，
，
，
，即，
，
∽，
，
 

【解析】由可得∽，有，又，故∽；
由∽，∽，可得，，即得，而，可得，∽，从而，
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
；
如图：

由，可得直线AC解析式为，，
设，则，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
，
解得或与A重合，舍去，
；
点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：
作B关于直线CD的对称点E，过E作轴于W，设BE交CD于K，如图：

由得抛物线对称轴为直线，，
，，
，
，
，E关于直线CD对称，
，，
，
∽，
，即，
，，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
由，得直线AP解析式为，
在中，令得，
在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上． 

【解析】用待定系数法可得；
由，可得直线AC解析式为，，设，可得，由∽，可得，故，即可解得；
作B关于直线CD的对称点E，过E作轴于W，设BE交CD于K，由得抛物线对称轴为直线，，证明∽，可得，，从而，又∽，即可得，，，由，得直线AP解析式为，故E在直线直线AP上．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

25.【答案】解：如图1，

连接EF，
四边形ABCD是正方形，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，舍去，
；
①证明：如图2，

延长EG，交BC于T，作，
，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，，，
四边形CTER是平行四边形，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，

作于Q，
设，则，，
在中，
，
在中，，
，
由①知，
，
，
，
舍去，，
，，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
 

【解析】可推出是等边三角形，从而，设，从而表示出EF和BE，进一步得出结果；
①延长EG，交BC于T，作，可证得≌，进而得出，根据得出，从而得出；
②作于Q，设，从而，，在中可表示出，在中，，由①知，，从而，从而得出，求得a的值，从而得出EQ，BE，EH，根据∽可得出，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．